Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1 trang 82 SGK Đại số & Giải tích 11
Chứng minh rằng với \(n \in N*\), ta có đẳng thức:
a) \(2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}\);
b) \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n} - 1}}{{{2^n}}}\);
c) \(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\).
Câu a:
Khi n=1 ta thấy đẳng thức đã cho đúng. Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq 1,\) nghĩa là: \(2+5+8+...+3k-1=\frac{k(3k+1)}{2} (1)\) giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với \(n=k+1\), tức là \(2+5+8+....+3k-1+3k+2=\frac{(k+1)(3k+4)}{2} \ \ (2)\)
Thật vậy từ (1) ta có:
\((2+5+8+....+3k-1)+3k+2=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}+3k+2\)
\(=\frac{k(3k+1)+2(3k+1)}{2}=\frac{3k^2+7k+4}{2}=\frac{(k+1)(3k+4)}{2}\)
Vậy (2) đúng ⇒ (đpcm)
Câu b:
Khi n = 1, đẳng thức đã cho là đúng.
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\geq 1,\) tức là: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}=\frac{2^k-1}{2^k} \ (1)\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với n = k + 1, tức là \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}} \ (2)\)
Thật vậy từ (1) ta có: \(\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^k} \right )+\frac{1}{2^{k+1}} =\frac{2^k-1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}\)
\(=\frac{2(2^k-1)+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)
Câu c:
Khi n = 1, đẳng thức đã cho là đúng.
Giả sử đẳng thức với \(n=k\geq 1\), tức là:
\(1^2+2^2+3^2+...+k^2 =\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với n = k +1, tức là:\(1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +(k+1)^2\)
\(=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\)
\(=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm).
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK
