Có bao nhiêu giá trị nguyên dươg của tham số m để hàm số \(y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|\) có 5 điểm c�

* Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có đạo hàm của \(\left( \left| f\left( x \right) \right| \right)'=\left( \sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)} \right)'=\frac{2f\left( x \right).f'\left( x \right)}{2\sqrt{{{f}^{2}}\left( x \right)}}=\frac{f\left( x \right).f'\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|},\) suy ra

Đạo hàm \(y'=\frac{\left( 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right)}{\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right|}\), từ đây ta có

Xét phương trình

\(\left( 12{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}-24x \right)\left( 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+m \right)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 12{x^3} - 12{x^2} - 24x = 0\\ 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} + m = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 2\\ 3{x^4} - 4{x^3} - 12{x^2} = - m\left( * \right) \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}\) trên \(\mathbb{R}\) và \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1\\ x = 2 \end{array} \right..\)

Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) như sau:

Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của \(y'=0\) và số điểm tới hạn của \(y'\) là 5, do đó ta cần có các trường hợp sau

TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1; 0; 2 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m > 0\\ - 32 < - m < - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 0\\ 5 < m < 32 \end{array} \right.,\) trường hợp này có 26 số nguyên dương.

TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm \( - 1;0;2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m = 0\\ - m = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 5 \end{array} \right.,\) trường hợp này có một số nguyên dương.

Vậy có tất cả là 27 số nguyên dương thỏa mãn bài toán