Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Hỏi phương trình \(f\left( xf\left( x \right) \right)-2=0\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

* Hướng dẫn giải

Ta có pt: \(f\left( {xf\left( x \right)} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( {xf\left( x \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} xf\left( x \right) = 0\\ xf\left( x \right) = b \in \left( {0;2} \right)\\ xf\left( x \right) = a \in \left( { - 4; - 2} \right) \end{array} \right.\)

* Xét phương trình: \(xf\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ f\left( x \right) = 0\left( 1 \right) \end{array} \right..\)

Ta thấy đồ thị \(y=f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 1 điểm nên phương trình \(\left( 1 \right)\) có 1 nghiệm \(x={{x}_{2}}<-4.\)

* Xét phương trình: \(xf\left( x \right)=b\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{b}{x},\left( x\ne 0 \right)\) (vì \(x=0\) phương trình vô nghiệm)

Đặt \(g\left( x \right)=\frac{b}{x}\Rightarrow g'\left( x \right)=\frac{-b}{{{x}^{2}}}<0,\forall x\ne 0.\) Suy ra \(g\left( x \right)=\frac{b}{x}\) nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Ta dễ thấy TCĐ: \(x=0,\) TCN: \(y=0.\)

Phác họa đồ thị \(y=g\left( x \right)\) như hình vẽ ta có 2 giao điểm với đồ thị \(y=f\left( x \right),\) suy ra phương trình \(xf\left( x \right)=b\) có 2 nghiệm phân biệt \(x={{x}_{3}};x={{x}_{4}}\)

* Xét phương trình: \(xf\left( x \right)=a\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{a}{x},\left( x\ne 0 \right)\)(vì \(x=0\) phương trình vô nghiệm)

Đặt \(h\left( x \right)=\frac{a}{x}\Rightarrow h'\left( x \right)=\frac{-a}{{{x}^{2}}}>0,\forall x\ne 0.\) Suy ra \(h\left( x \right)=\frac{a}{x}\) đồng biến trên từng khoảng xác định.

Ta dễ thấy TCĐ: \(x=0,\) TCN: \(y=0.\)

Phác họa đồ thị \(y=h\left( x \right)\) như hình vẽ ta có 2 giao điểm với đồ thị \(y=f\left( x \right)\), suy ra phương trình \(xf\left( x \right)=a\) có 2 nghiệm \(x={{x}_{5}};x={{x}_{6}}.\)

Như vậy \(f\left( xf\left( x \right) \right)-2=0\) có 6 nghiệm phân biệt.