Đăng nhập Đăng kí

Trang chủ Đề thi & kiểm tra Khác Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án !! Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất...

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a.

Khác -

Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án !!

Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án !!

Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án !!

Đề thi Đánh giá tư duy Tiếng Anh có đáp án !!

Đề thi Đánh giá tư duy Khoa học tự nhiên có đáp án !!

Top 10 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội năm 2022 có đáp án !!

Hàm số bậc hai !!

Bài toán về đồ thị hàm số bậc hai !!

Bất phương trình !!

Dấu của tam thức bậc hai !!

Hệ bất phương trình !!

Khoảng cách và góc !!

Phương trình đường tròn !!

Phương trình đường elip !!

Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn !!

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình !!

Cấp số cộng !!

Cấp số nhân !!

Giới hạn của dãy số !!

Giới hạn của hàm số !!

Các dạng vô định của giới hạn !!

Phương trình lượng giác cơ bản !!

Phương trình lượng giác thường gặp !!

Câu hỏi :

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh AC sao cho CN = 2AN. Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’ bằng:

A. $\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{12} .$

B. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{36} .$

C. $\frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36} .$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .$

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Cách 1.

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a. (ảnh 1)

Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó ta có $V = V_{M . A' A N} + V_{M . A' C' N} + V_{M . A' B' C'}$

Từ giả thiết ta có

$S_{Δ A' A N} = \frac{1}{2} A A' . A N = \frac{1}{2} . a . \frac{a}{3} = \frac{a^{2}}{6}; S_{Δ A' C' N} = \frac{1}{2} d (N, A' C') . A' C' = \frac{1}{2} . a . a = \frac{a^{2}}{2};$

$S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{2} A' B' . A' C' . s i n 60^{o} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Gọi H là trung điểm của $A C \Rightarrow B H ⊥ (A C C' A')$ và $B H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow d (M, (A C C' A')) = \frac{1}{2} d (B, (A C C' A')) = \frac{1}{2} B H = \frac{a \sqrt{3}}{4} .$

Khi đó ta có

$V_{M . A' A N} = \frac{1}{3} d (M; (A C C' A')) . S_{Δ A' A N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{72} .$

$\begin{array}{l} V_{M . A' C' N} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{Δ A' C' N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} . \\ V_{M . A' B' C'} = \frac{1}{3} d (M, (A' B' C')) . S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} . \end{array}$ Vậy $V = V_{M . A' A N} + V_{M . A' C' N} + V_{M . A' B' C'} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{72} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{24} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

Cách 2.

Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’. Khi đó ta có

$V = V_{M . A A' C' N} + V_{M . A' B' C'}$ .

Ta có $S_{A A' C' N} = \frac{1}{2} A A' (A N + A' C') = \frac{1}{2} a (\frac{a}{3} + a) = \frac{2 a^{2}}{3} .$

Suy ra $V_{M . A A' C' N} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{A A' C' N} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{2 a^{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

$V_{M . A' B' C'} = \frac{1}{3} d (M, (A' B' C')) . S_{Δ A' B' C'} = \frac{1}{3} . a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .$

Vậy $V = V_{M . A A' C' N} + V_{M . A' B' C'} = \frac{2 \sqrt{3} a^{3}}{36} + \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36} .$

Cách 3.

Gọi H là trung điểm của AC và V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó, $V = V_{A M H . A' B' C'} - V_{M . N H C'}$

Dễ thấy $M H / / B' C'$ nên AMH.A’B’C’ là khối chóp cụt.

Áp dụng công thức thể tích V₁ của khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S₀, S₁ thì ta có

$V_{1} = \frac{h}{3} (S_{0} + \sqrt{S_{0} S_{1}} + S_{1})$

Khi đó

$V_{A M H . A' B' C'} = \frac{A A'}{3} (S_{A M H} + \sqrt{S_{A M H} . S_{A' B' C'}} + S_{A' B' C'})$

$= \frac{a}{3} (\frac{1}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{1}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}} + \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}) = \frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{48}$

Mặt khác, $V_{M . N H C'} = \frac{1}{3} d (M, (A C C' A')) . S_{N H C'} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{4} . \frac{1}{2} . a . \frac{a}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{144}$

Vậy $V = V_{A M H . A' B' C'} - V_{M . N H C' .} = \frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{48} - \frac{a^{3} \sqrt{3}}{144} = \frac{5 \sqrt{3} a^{3}}{36}$

Chọn C

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án !!

Số câu hỏi: 300

Khác

Bạn có biết?

Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.

Nguồn : timviec365.vn

Tâm sự

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Phương trình hóa học Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Review sách Tổng hợp mã giảm giá Học tiếng anh Nghe truyện audio Đọc truyện chữ Thư viện sách

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ