Vi phân - Lý thuyết tổng hợp và ứng dụng vi phân trong giải bài tập
Công thức : Vi phân - Lý thuyết tổng hợp và ứng dụng vi phân trong giải bài tập
Vi phân - Lý thuyết tổng hợp và ứng dụng vi phân trong giải bài tập
Vi phân là dạng công thức liên quan đến dạng bài về công thức tính đạo hàm, tích phân. Được đánh giá là một học phần khá quan trọng trong chương trình đại số và giải tích bậc trung học phổ thông, các bạn phải nắm chắc những kiến thức từ cơ bản đến chi tiết về vi phân. Bài viết sau sẽ đưa ra cho bạn câu trả lời hợp lý!
I. Vi phân là gì
Trong toán học, vi phân là một nhánh con của vi tích phân liên quan đến nghiên cứu về tốc độ thay đổi của hàm số khi biến số thay đổi. Đây là một trong hai nhánh truyền thống của vi tích phân, cái còn lại là tích phân, nghiên cứu về diện tích nằm bên dưới một đường cong.
Vi phân là một giá trị nhỏ, nhỏ rất nhiều, vô cùng nhỏ. Ta thường viết vi phân bằng các ký hiệu như 𝑑𝑥; 𝑑𝑦; 𝑑𝑡; … với:
- 𝑑𝑥 là sự thay đổi giá trị rất ít của biến 𝑥.
- 𝑑𝑦 là sự thay đổi giá trị rất ít của biến 𝑦.
- 𝑑𝑡 là sự thay đổi giá trị rất ít của biến 𝑡.
Khi so sánh 2 đại lượng có giá trị vô cùng nhỏ có mối quan hệ với nhau, như 𝑦 là một hàm 𝑓 nào đó của biến 𝑥, ta nói vi phân 𝑑𝑦, với 𝑦 = 𝑓(𝑥) được viết là: \(𝑑𝑦 = 𝑓 ′(𝑥) 𝑑x\).
Lưu ý: Ta xem \(\dfrac{dy}{dx}\) như là một phân số (tức ta có quyền tác động vào tử, mẫu một cách độc lập) hơn là một toán tử.
Ví dụ: Tính vi phân 𝑑𝑦 của hàm số: \(𝑦 = 3𝑥 ^5 − 𝑥\)
Trả lời: Ta có \(𝑦 = 3𝑥 ^5 − 𝑥\) nên \(𝑓 ′(𝑥) = 15𝑥^ 4 − 1\). Vậy ta có kết quả vi phân: \(𝑑𝑦 = 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 = (15𝑥 ^4 − 1 )𝑑𝑥\).
Để tìm vi phân 𝑑𝑦, ta chỉ việc tìm đạo hàm và gắn thêm đuôi 𝑑𝑥 vào.
Xem ngay: Vi phan
II. Các công thức vi phân thường gặp
1. Cách tính vi phân cơ bản
Cho hàm số f(x) xác định tại \(x_o\) và trong lân cận của nó. Cho x một số gia \(\Delta x\) tùy ý, nếu tại \(x_o\) số gia của hàm số \(y = f(x0 +x) – f(x0)\) viết dưới dạng:
\(\Delta y=A\Delta x+\alpha(\Delta x)\).
Trong đó A là đại lượng không phụ thuộc vào \(\Delta x\) và \(\alpha (\Delta x)\) là vô cùng bé bậc cao hơn \(\Delta x\) (nghĩa là \(\alpha(\Delta x)\rightarrow\) khi \(\Delta x\rightarrow 0\)) ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm \(x_o\) và đại lượng A\(\Delta x\) được gọi là vi phân của hàm số tại điểm \(x_o\). Ký hiệu: \(dy = \Delta A.x\).
2. Vi phân hàm ẩn
Chắc hẳn các bạn từng gặp những phương trình mà 𝑦 không thể biểu diễn theo 𝑥 chỉ bằng cách chuyển vế, chẳng hạn: \(𝑦^ 4 + 2𝑥 ^2𝑦 ^2 + 6𝑥 ^2 = 7\)
Để tính \(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}\) theo những cách thông thường trước đây thì rất phức tạp để biến đổi 𝑦 theo 𝑥, thậm chí là không thể. Vậy ta phải có một cách nào đó để tính vi phân nhằm xác định tốc độ thay đổi của 𝑦 khi 𝑥 thay đổi.
Để làm được điều này thì chúng ta cần biết đến vi phân hàm ẩn.
Ví dụ: Tìm biểu thức \(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}\) nếu: \(𝑦 ^4 + 𝑥^ 5 − 7𝑥 ^2 − 5𝑥 −1 = 0\)
Trả lời: \(𝑦 ^4 + 𝑥^ 5 − 7𝑥 ^2 − 5𝑥 −1 = 0\).Ở ví dụ này ta dễ dàng phân tích 𝑦 theo 𝑥, từ đó tính vi phân một cách dễ dàng. Thế nhưng ta hãy sử dụng một cách khác để tìm vi phân xem.
Phần A: Tìm đạo hàm với 𝑥 của \(𝑦^4\) .
Để vi phân biểu thức này, ta coi như 𝑦 là hàm theo 𝑥 và sử dụng “Đạo hàm hàm số có lũy thừa”.
Cơ bản: Tiến hành các bước tính đạo hàm:
\(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}(y)=\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}\)
\(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}(y^2)=2y\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}\)
\(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}(y^3)=3y^2\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}\)
\(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}(y^4)=4y^3\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}\)
Phần B: Tìm đạo hàm theo 𝑥 của: \(𝑥 ^5 − 7𝑥 ^2 − \dfrac{5}{x}\)
Đây là cách tính vi phân thuần túy: \(\dfrac{d}{dx}(𝑥 ^5 − 7𝑥 ^2 − \dfrac{5}{x})=5x^4-14x+\dfrac{5}{x^2}\).
Phần C: Ở vế phải của phương trình, đạo hàm của 0 là 0. Bây giờ kết hợp phần 𝐴; 𝐵; 𝐶.
\(4y^3\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}+5x^4-14x+\dfrac{5}{x^2} = 0\)
Chuyển vế ta được kết quả:
\(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}=\dfrac{5x^4-14x+\dfrac{5}{x^2}}{4y^3}\)
Hot: Tổng hợp các Mẹo Toán học hữu ích nhất
3. Vi phân của hàm số có lũy thừa
- Hàm hợp
Nếu 𝑦 là hàm số theo 𝑢, còn 𝑢 là hàm số theo 𝑥 thì ta nói: “𝑦 là hàm hợp theo 𝑥”.
Ví dụ: Hãy mô tả phương trình: \(𝑦 = (5𝑥 + 7) ^{12}\)
Trả lời: Nếu ta gọi \(𝑢 = 5𝑥 + 7\) (biểu thức trong ngoặc) thì phương trình trên viết lại thành: \(𝑦 = 𝑢 ^{12}\).
Ta đã viết 𝑦 là hàm số theo 𝑢, và tương tự 𝑢 là hàm số theo 𝑥. Đây là khái niệm quan trọng trong vi phân. Những phương trình ta gặp đến bây giờ sẽ là phương trình trong phương trình và ta cần phải nhận diện chúng để có thể tính vi phân một cách chính xác.
- Quy tắc xích
Để tìm đạo hàm hàm hợp, ta cần sử dụng quy tắc xích: \(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}=\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑u}.\dfrac{𝑑u}{ 𝑑𝑥}\)
Điều này có nghĩa ta cần phải:
- Nhận diện 𝑢 (luôn luôn chọn biểu thức nằm trong cùng, thường nằm trong ngoặc hay dưới dấu căn).
- Sau đó ta cần ghi lại biểu thức 𝑦 theo 𝑢.
- Đạo hàm 𝑦 (theo 𝑢) sau đó ta biểu diễn lại mọi thứ theo 𝑥.
- Bước tiếp theo ta tìm \(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑𝑥}\).
- Nhân \(\dfrac{𝑑𝑦}{ 𝑑u}\) với \(\dfrac{𝑑u}{ 𝑑𝑥}\) .
4. Vi phân toàn phần
Phương trình vi phân dạng:
\(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\quad (1)\)được gọi là phương trình vi phần toàn phần khi nó thỏa mãn điều kiện: vế trái của phương trình (1) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào đó. Tức là tồn tại một hàm U(x,y) khả vi nào đó sao cho: \(dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy\)
Điều kiện để một phương trình vi phân dạng (1) trở thành phương trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết phương trình vi phân toàn phần) là: \(\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\)
Có thể bạn quan tâm:
III. Ứng dụng vi phân
Vi phân có thể giúp chúng ta giải quyết nhiều vấn đề trong thế giới thực. Ta dùng đạo hàm để xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm riêng biệt (ví dụ như giá tiền, độ dài, số lượng vật liệu dùng cho xây dựng, lợi ích, tổn thất,.). Ta dễ bắt gặp phép tính đạo hàm trong các vấn để liên quan đến cơ khí và tin học, đặc biệt khi ta làm mô hình đặc điểm của một vật thể đang chuyển động.
1. Ứng dụng trong tiếp tuyến và pháp tuyến
- Tiếp tuyến: Giả sử ta đi du lịch trên 1 chiếc xe hơi quanh khúc cua, bất chợt ta đụng vào một thứ gì đó trơn trượt trên đường (có thể là dầu, băng, nước hay cát mềm) và xe của ta bắt đầu trượt, thì chiếc xe sẽ di chuyển theo hướng tiếp tuyến với khúc cua đó. Tương tự, nếu ta cầm trái banh và ném chúng quanh 1 vật thể đang xoay tròn, trái banh ngay lập tức bay ra theo phương tiếp tuyến vật thể xoay tròn đó.
- Khi bạn lái xe nhanh theo đường tròn, lực khiến bạn cảm thấy như xe mình sắp rời khỏi đường tròn đó chính là pháp tuyến của đường cong con đường. Một điều khá thú vị là lực giúp bạn di chuyển vòng quanh khúc cua hướng thẳng về tâm đường tròn, pháp tuyến với đường tròn. Căm bánh xe được đặt pháp tuyến với đường cong bánh xe ở những điểm có chỗ cho căm xe liên kết với tâm bánh xe.
2. Ứng dụng trong công thức Newton
Với những phương trình phức tạp mà bạn không thể giải thuần túy đại số thì bài viết này rất hữu ích cho bạn.
Các máy tính sử dụng công thức vòng lặp để giải phương trình. Quá trình này bao gồm phán đoán ra cách giải đúng và áp dụng công thức để đưa ra các phán đoán chính xác hơn cho đến khi ta tìm ra được giá trị (có thể xấp xỉ) đúng nhất của phương trình.
Nếu ta muốn tìm 𝑥 để 𝑓(𝑥) = 0 (dạng bài toán phổ biến) thì ta đoán một vài giá trị \(𝑥_1\) gần đúng nhất, từ đó ta sẽ tìm ra giá trị xấp xỉ phù hợp bằng cách sử dụng công thức Newton: \(𝑥_2 = 𝑥_1 − \dfrac{𝑓(𝑥_1 ) }{𝑓 ′(𝑥_1 )}\)
3. Ứng dụng trong chuyển động cong
Ở bài Đạo hàm với tốc độ thay đổi tức thời, ta đã tìm ra cách xác định vận tốc theo phương trình chuyển động bằng cách.
\(𝑣 =\dfrac{ 𝑑𝑠}{ 𝑑𝑡}\)
Gia tốc theo phương trình vận tốc (hay phương trình chuyển động), sử dụng:
\(a=\dfrac{ 𝑑v}{ 𝑑𝑡}=\dfrac{ 𝑑^2𝑠}{ 𝑑𝑡^2}\)
Công thức trên chỉ thích hợp với chuyển động thẳng (như vận tốc và gia tốc trên đường thẳng), điều này chưa phù hợp với nhiều vấn đề trong cuộc sống. Vì vậy ta nghiên cứu đến khái niệm về chuyển động cong khi một vật thể di chuyển theo đường cong định trước. Thông thường ta biểu diễn thành phần chuyển động là 𝑥 và 𝑦 là hàm số theo thời gian, gọi là dạng tham số.
4. Ứng dụng trong tốc độ liên quan
Nếu ta có 2 đại lượng phụ thuộc theo thời gian và giữa chúng có sự liên quan với nhau, ta có thể biểu thị tốc độ thay đổi của đại lượng này theo đại lượng khác. Khi đó ta cần vi phân cả hai bên theo thời gian, tức là ta sẽ tìm \(\dfrac{ 𝑑f}{ 𝑑𝑡}\) của hàm 𝑓(𝑡) nào đó.
Với những kiến thức tổng hợp trên hy vọng rằng nó đã giúp bạn giải đáp phần nào những thắc mắc về vi phân. Để học tập thật tốt hãy đầu tư thời gian vào làm bài cũng như trau dồi các kiến thức này nhé. Chúng tôi tin chắc rằng chúng sẽ không làm khó được bạn. Chúc các bạn thành công!
Tổng hợp toàn bộ những công thức vi phân học sinh không nên bỏ qua
Copyright © 2021 HOCTAPSGK