Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có: $A = \int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = f (x) \sin x |_{0}^{π} - \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x = - \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x$

Suy ra $\int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x = - A$

Ta lại có: $\int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos 2 x}{2} d x = (\frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{4}) |_{0}^{π} = \frac{π}{2}$

Mặt khác, $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x = \frac{2 A^{2}}{π}$ . Gọi X là số thực thỏa mãn $\frac{2 A^{2}}{π} + 2 (- A) X + X^{2} \frac{π}{2} = 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{\frac{2}{π}} A - X \sqrt{\frac{π}{2}})}^{2} = 0 \Rightarrow X = \frac{2 A}{π}$

Từ đó ta có:

$\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x + 2 \frac{2 A}{π} \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x + \frac{4 A^{2}}{π^{2}} \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = 0$ hay $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2} d x = 0$

Do f'(x), sinx liên tục nên ${(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2}$ không âm, liên tục và $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2} d x = 0$ do đó $f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x = 0$ trên $[0, π]$

Hay $f^{'} (x) = - \frac{2 A}{π} \sin x$ trên $[0, π]$ .

Lấy nguyên hàm hai vế trên $[0, π]$ , ta có: $f (x) = \frac{2 A}{π} \cos x + C$ với $\forall x \in [0, π]$ .

Theo giả thiết $f (\frac{π}{2}) = 0$ nên C=0. Vậy $f (x) = \frac{2 A}{π} \cos x$ với $\forall x \in [0, π]$ .

Khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (2 x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{2 A}{π} \cos 2 x d x = \frac{A}{π} \sin 2 x |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{A}{π}$ .

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (30 đề) !!

Số câu hỏi: 1499

Toán học

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi Đọc truyện chữ Nghe truyện audio Công thức nấu ăn Hỏi nhanh

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm

Toán học -

Câu hỏi :