Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tam giác ABC vuông tại A, AB = a
Câu hỏi :
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \), \(AA' = 2a\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) trùng với trung điểm \(H\) của đoạn \(B'C'\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng:
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 2 \), \(AA' = 2a\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) trùng với trung điểm \(H\) của đoạn \(B'C'\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng:
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
Đáp án: \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
Phương pháp giải:
- Chứng minh \(d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\), sử dụng định lí khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.
- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AK \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in BC} \right)\), trong \(\left( {AHK} \right)\) kẻ \(AI \bot HK{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {I \in HK} \right)\), chứng minh \(AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
Ta có \(AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \supset BC'\).
\( \Rightarrow d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AK \bot BC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {K \in BC} \right)\), trong \(\left( {AHK} \right)\) kẻ \[AI \bot HK{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {I \in HK} \right)\] ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AK}\\{BC \bot AH}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BC \botAI}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI \bot HK}\\{AI \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BCC'B'} \right)}\end{array} \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AI = d\left( {AA';BC'} \right)\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[ABC\] ta có: \[AK = \frac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Tam giác \[A'B'C'\] có \[B'C' = {\rm{ }}\sqrt {A'{{B'}^2} + A'{{C'}^2}} = 2a \Rightarrow A'H = \frac{1}{2}B'C' = a\]
\[ \Rightarrow AH = {\rm{ }}\sqrt {A{{A'}^2} + A'{H^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 {\rm{ }}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHK\) ta có:
\(AI = \frac{{AH.AK}}{{\sqrt {A{H^2} + A{K^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \frac{{3{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)
Vậy \(d\left( {AA';BC'} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án !!
Bạn có biết?
Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.
Nguồn : timviec365.vnTâm sự
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK