Cho hàm số y = x^4 + 2 ( 1 − m^2 ) x^2 + m + 1. . Tất cả các giá trị của mm để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 căn bậc hai của 2 là

\[\begin{array}{l}y\prime = 4{x^3} + 4(1 - {m^2})x\\y\prime = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4(1 - {m^2})x = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} + 1 - {m^2}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{{x^2} = {m^2} - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm \sqrt {{m^2} - 1} }\end{array}} \right.\end{array}\]

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị:\[{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{m < - 1}\end{array}} \right.\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow A\left( {0;m + 1} \right)}\\{x = - \sqrt {{m^2} - 1} \Rightarrow y = {{\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} } \right)}^4} + 2\left( {1 - {m^2}} \right){{\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} } \right)}^2} + m + 1}\\{ \Rightarrow y = {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} - 2{{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1 = - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1}\\{ \Rightarrow B\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} ; - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1} \right)}\\{x = \sqrt {{m^2} - 1} \Rightarrow C\left( {\sqrt {{m^2} - 1} ; - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1} \right)}\end{array}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{S_{ABC}} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}AH.BC = 4\sqrt 2 }\\{ \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_C}} \right|.\left| {HC} \right| = 4\sqrt 2 }\\{ \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_C}} \right|.\left| {{x_C}} \right| = 4\sqrt 2 }\\{ \Leftrightarrow \left| {m + 1 + {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} - m - 1} \right|.\sqrt {{m^2} - 1} = 4\sqrt 2 }\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2}.\sqrt {{m^2} - 1} = 4\sqrt 2 }\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^5} = 32 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 2 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 }\end{array}\]

\[m = \pm \sqrt 3 \] thỏa mãn điều kiện\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 1}\\{m < - 1}\end{array}} \right.\)