Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ. Gọi M l...

Câu hỏi :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Gọi M là trung điểm SD, hãy tính theo aa khoảng cách dd từ M đến mặt phẳng (SAC).

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, AD=2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ. Gọi M là trung điểm  (ảnh 1)

Bước 1: Đổi \[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)\] sang \[d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Gọi H là trung điểm AB. Vì \[\Delta SAB\] cân tại S nên\[SH \bot AB\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(SAB) \cap (ABCD) = AB}\\{SH \subset (ABCD),SH \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Gọi \[K = HD \cap AC\]  Áp dụng định lí Ta-let ta có\[\frac{{DK}}{{HK}} = \frac{{DC}}{{AH}} = 2 \Rightarrow DK = 2HK\]

Ta có \[MD \cap \left( {SAC} \right) = S \Rightarrow \frac{{d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}\]

\[ \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Lại có\[DH \cap \left( {SAC} \right) = K\] nên\[\frac{{d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)}} = \frac{{DK}}{{HK}} = 2 \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Bước 2: Trong (ABCD) kẻ \[HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\] trong (SHE) kẻ\[HN \bot SE\,\,\left( {N \in SE} \right)\] chứng minh\[HN \bot \left( {SAC} \right)\]

Do đó\[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Trong (ABCD) kẻ\[HE \bot AC\,\,\left( {E \in AC} \right)\],  trong (SHE) kẻ\[HN \bot SE\,\,\left( {N \in SE} \right)\] ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AC \bot HE}\\{AC \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot (SHE) \Rightarrow AC \bot HN\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HN \bot SE}\\{HN \bot AC}\end{array} \Rightarrow HN \bot (SAC)} \right.\)

\[ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HN\]

Bước 3: Xác định góc giữa SC và (ABCD), từ đó tính SH.

Vì \[SH \bot \left( {ABCD} \right)\] nên HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)

\[ \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}\]

\[ \Rightarrow {\rm{\Delta }}SHC\] vuông cân tại \[H \Rightarrow SH = HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\]

Bước 4: Tính\[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right)\]

Ta có: \[{S_{HAC}} = \frac{1}{2}HE.AC = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\]

\[ \Rightarrow HE.AC = \frac{1}{2}.AB.BC\]

\[ \Rightarrow HE = \frac{{\frac{1}{2}.AB.BC}}{{AC}} = \frac{{\frac{1}{2}.a.2a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\]

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHE ta có:

Nên\[HN = \frac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt {17} }}{2}.\frac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {\frac{{17{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{5}} }} = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\]

Vậy \[d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\]

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng !!

Số câu hỏi: 16

Bạn có biết?

Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.

Nguồn : timviec365.vn

Tâm sự

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK