Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC,BD thỏa mãn AC^2 + BD^2 = 16 và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu hỏi :

Cho khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AC,BD\) thỏa mãn \(A{C^2} + B{D^2} = 16\) và các cạnh còn lại đều bằng 6. Thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất bằng

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Đáp án: \(\frac{{16\sqrt 2 }}{3}\)

Phương pháp giải:

- Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Sử dụng định lí Pytago tính BF, EF.

- Tính diện tích tam giác BDF.

- Chứng minh \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\).

- Áp dụng BĐT: \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\).

Giải chi tiết:

Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC,BD thỏa mãn (ảnh 1)

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD, AC. Giả sử \(AC = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD = b\), theo giả thiết ta có: \({a^2} + {b^2} = 16{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a,b > 0} \right)\).

Xét \(\Delta ABC\)\(\Delta ADC\) có:

AC chung

AB = AD (gt)

BC = CD (gt)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BF = DF\) (2 trung tuyến tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta BDF\) cân tại F \( \Rightarrow EF \bot BD\)  (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).

Ta có: BF=AB2-AF2 =62-(a2)2 =36-a24

EF=BF2-BE2 =36-a24-b24 =36-164 =32

\( \Rightarrow {S_{BDF}} = \frac{1}{2}.EF.BD = \frac{1}{2}.\sqrt {32} .b = 2\sqrt 2 b\)

Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot BF}\\{AC \bot DF}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BDF} \right)\).

Ta có: \({V_{ABCD}} = {V_{A.BDF}} + {V_{C.BDF}}\)

\( = \frac{1}{3}.AF.{S_{BDF}} + \frac{1}{3}.CF.{S_{BDF}}\)

\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.\left( {AF + CF} \right)\)

\( = \frac{1}{3}.{S_{BDF}}.AC\)

\( = \frac{1}{3}.a.2\sqrt 2 b = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}ab\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8\).

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} \le \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.8 = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy \({V_{\max }} = \frac{{16\sqrt 2 }}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{{a^2} + {b^2} = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = b = 2\sqrt 2 \).

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Top 10 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội năm 2022 có đáp án !!

Số câu hỏi: 1250

Bạn có biết?

Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.

Nguồn : timviec365.vn

Tâm sự

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK