Bài tập 4 trang 101 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 101 SGK Giải tích 12
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) \(\small \int xln(1+x)dx\).
b) \(\int (x^2+2x+1)e^xdx\).
c) \(\small \int xsin(2x+1)dx\).
d) \(\small \int (1-x)cosxdx\).
Phương pháp:
Một số dạng nguyên hàm và cách đặt để tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
- Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)
Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)
- Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)
Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)
Lời giải:
Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 4 như sau:
Câu a:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (1 + x)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {x\ln (1 + x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}dx}}{{x + 1}}} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\int {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) - \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left| {1 + x} \right|} \right) + C\\ = \frac{1}{2}({x^2} - 1)\ln (1 + x) - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C. \end{array}\)
Câu b:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} + 2x - 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = (2x + 2)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
\(\int {({x^2} + 2x + 1)} {e^x}dx = ({x^2} + 2x - 1){e^x} - 2\int {(x + 1){e^x}dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)
Suy ra: \(\int {(x + 1){e^x}dx} = (x + 1){e^x} - \int {{e^x}dx} = x{e^x} + C\)
Vậy: \(\int {({x^2} + 2x - 1){e^x}dx} = ({x^2} + 2x - 1){e^x} - 2x{e^x} + C = ({x^2} - 1){e^x} + C.\)
Câu c:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin (2x + 1)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = - \frac{1}{2}\cos (2x + 1) \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {x\sin (2x + 1)dx} = - \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{2}\int {\cos (2x + 1)dx} \\ = - \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{4}\sin (2x + 1) + C. \end{array}\)
Câu d:
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 1 - x\\ dv = \cos dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = - dx\\ v = \sin x \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \int {(1 - x)\cos xdx} = (1 - x)\sin x + \int {\sin xdx} \\ = (1 - x)\sin x - \cos x + C. \end{array}\)
-- Mod Toán 12
Video hướng dẫn giải bài 4 SGK
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK
