Bài tập 3.7 trang 164 SBT Toán 12
Bài tập 3.7 trang 164 SBT Toán 12
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:
a) \(\int {{{\sin }^4}} xdx\) b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} \)
c) \(\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \) d) \(\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \)
a)Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\sin ^4}x = {\left( {\frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\
= \frac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)\\
= \frac{1}{4}\left( {\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{{\cos 4x}}{2}} \right)
\end{array}\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}
\int {{{\sin }^4}xdx} = \frac{1}{4}\int {\left( {\frac{3}{2} - 2\cos 2x + \frac{{\cos 4x}}{2}} \right)} dx\\
= \frac{1}{4}\int {\frac{3}{2}dx} - \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} + \frac{1}{8}\int {\cos 4xdx} \\
= \frac{3}{8}x - \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{{32}}\sin 4x + C
\end{array}\)
b) \(I = \int {\frac{1}{{{{\sin }^3}x}}dx} = \int {\frac{{\sin x}}{{{{\sin }^4}x}}dx} = \int {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)}^2}}}dx} \)
Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\).
Suy ra: \(I = - \int {\frac{{du}}{{{{(1 - {u^2})}^2}}}} \)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{2}{{1 - {u^2}}} = \frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}\\
\Rightarrow \frac{4}{{{{\left( {1 - {u^2}} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}} \right)^2}\\
= \frac{1}{{{{\left( {1 - u} \right)}^2}}} + \frac{2}{{\left( {1 - u} \right)\left( {1 + u} \right)}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}}\\
= \frac{1}{{{{\left( {1 - u} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}} + \frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}
\end{array}\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}
I = - \frac{1}{4}\smallint \left[ {\frac{1}{{{{\left( {1 - u} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}} + \frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}} \right]du\\
= - \frac{1}{4}\smallint \frac{{du}}{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{4}\smallint \frac{{du}}{{{{\left( {1 + u} \right)}^2}}} - \frac{1}{4}\smallint \frac{{du}}{{1 - u}} - \frac{1}{4}\smallint \frac{{du}}{{1 + u}}\\
= \frac{1}{4}.\frac{1}{{u - 1}} + \frac{1}{4}.\frac{1}{{u + 1}} + \frac{1}{4}.\ln \left| {1 - u} \right| - \frac{1}{4}\ln \left| {1 + u} \right| + C\\
= \frac{1}{4}.\frac{{2u}}{{{u^2} - 1}} + \frac{1}{4}.\ln \left| {\frac{{1 - u}}{{1 + u}}} \right| + C\\
= - \frac{{\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{1 - \cos x}}{{1 + \cos x}}} \right| + C\\
= \frac{{ - \cos x}}{{2{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{2}\ln \left| {\tan \frac{x}{2}} \right| + C
\end{array}\)
c) \(J = \int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} = \int {(1 - {{\cos }^2}x){{\cos }^4}x\sin xdx} \)
Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = - \sin xdx\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
J = - \mathop \smallint \nolimits \left( {1 - {u^2}} \right){u^4}du = - \mathop \smallint \nolimits \left( {{u^4} - {u^6}} \right)du\\
= - \frac{1}{5}{u^5} + \frac{1}{7}{u^7} + C\\
= - \frac{1}{5}{\cos ^5}x + \frac{1}{7}{\cos ^7}x + C
\end{array}\)
d)
\(\begin{array}{l}
{\sin ^4}x{\cos ^4}x = {\left( {\sin x\cos x} \right)^4} = {\left( {\frac{1}{2}\sin 2x} \right)^4}\\
= \frac{1}{{16}}{\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{{64}}\left( {1 - 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\\
= \frac{1}{{64}}\left( {\frac{3}{2} - 2\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 8x} \right)
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} = \frac{1}{{64}}\int {\left( {\frac{3}{2} - 2\cos 4x + \frac{1}{2}\cos 8x} \right)dx} \\
= \frac{1}{{64}}\left( {\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\sin 4x + \frac{1}{{16}}\sin 8x} \right) + C
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK