Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12
Bài tập 3.41 trang 180 SBT Toán 12
Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường \({y_1} = \sin x,{y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\) quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{\pi }{6}\)
C. 8
D. \(\frac{{{\pi ^2}}}{6}\)
Ta có: \(\sin x = \frac{{2x}}{\pi } \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \frac{\pi }{2}}\\
{x = - \frac{\pi }{2}}
\end{array}} \right.\)
Khi đó \(V = \pi \int \limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx\)
Dễ thấy \(f\left( x \right) = \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|\)
là hàm số chẵn nên:
\(\begin{array}{l}
V = 2\pi \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left| {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right|dx\\
= 2\pi \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {{{\sin }^2}x - {{\left( {\frac{{2x}}{\pi }} \right)}^2}} \right)dx\\
= 2\pi \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^2}xdx - \frac{8}{\pi }\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}dx\\
= \pi \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {1 - \cos 2x} \right)dx - \frac{8}{\pi }\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}dx\\
= \pi \left. {\left( {x - \frac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\frac{8}{\pi }.\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\
= \pi \left( {\frac{\pi }{2} - 0} \right) - \frac{8}{\pi }.\frac{1}{3}.{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)^3}\\
= \frac{{{\pi ^2}}}{2} - \frac{{{\pi ^2}}}{3} = \frac{{{\pi ^2}}}{6}
\end{array}\)
Chọn D.
-- Mod Toán 12
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK