Bài tập 12 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 12 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.
a) Chứng minh rằng AB2+CD2 không đổi.
b) Chứng minh rằng PA2+PB2+PC2+PD2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Ta có OI⊥AB; OJ⊥CD
Suy ra OIPJ là hình chữ nhật. Ta có:
\(\begin{array}{l}
A{B^2} + C{D^2} = 4\left( {A{I^2} + C{J^2}} \right)\\
= 4\left( {O{A^2} - O{I^2} + C{O^2} - J{O^2}} \right)
\end{array}\)
\( = 4\left( {2{R^2} - O{P^2}} \right)\) (không đổi do cố định)
b) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}}\\
\begin{array}{l}
= {\left( {\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {PB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {PD} } \right)^2}\\
+ 2.\overrightarrow {PA} .\overrightarrow {PB} + 2\overrightarrow {PC} .\overrightarrow {PD}
\end{array}\\
{ = A{B^2} + C{D^2} + 4\left( {P{O^2} - {R^2}} \right)}\\
{ = 4\left( {2{R^2} - O{P^2}} \right) + 4\left( {P{O^2} - {R^2}} \right) = 4{R^2}}
\end{array}\)
Vậy \(P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
-- Mod Toán 10
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 10
Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK