Bài tập 14 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 14 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(−4;1), B(2;4), C(2;−2).
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm I, G, H.
a) Ta có:
\(\overrightarrow {AB} = \left( {6;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6; - 3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 6} \right)\).
Suy ra:
\(\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \\
AC = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 \\
BC = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {36} = 6
\end{array}\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A.
Chu vi tam giác ABC là:
\(3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 + 6 = 6\sqrt 5 + 6\).
Gọi M là trung điểm của BC thì AM là đường cao của tam giác ABC.
Ta có M(2;1), \(\overrightarrow {AM} = \left( {6;0} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{6^2} + 0} = 6\).
Diện tích tam giác ABC là:
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AM = \frac{1}{2}.6.6 = 18\)
b) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{1}{3}\left( {{x_A} + {x_B} + {x_C}} \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4 + 2 + 2} \right) = 0\\
{y_G} = \frac{1}{3}\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 4 - 2} \right) = 1
\end{array} \right.\)
Vậy G(0;1).
Gọi H(xH,yH) là trực tâm tam giác ABC. Ta có
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\
{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left( {{x_H} + 4} \right).0 + \left( {{y_H} - 1} \right).\left( { - 6} \right) = 0}\\
{\left( {{x_H} - 2} \right).6 + \left( {{y_H} - 4} \right).\left( { - 3} \right) = 0}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_H} = \frac{1}{2}}\\
{{y_H} = 1}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Vậy \(H\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Gọi I(xI,yI) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{A{I^2} = B{I^2}}\\
{A{I^2} = C{I^2}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {{x_I} + 4} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - 1} \right)}^2} = {{\left( {{x_I} - 2} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - 4} \right)}^2}}\\
{{{\left( {{x_I} + 4} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - 1} \right)}^2} = {{\left( {{x_I} - 2} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} + 2} \right)}^2}}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4{x_I} + 2{y_I} = 1}\\
{4{x_I} - 2{y_I} = - 3}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_I} = - \frac{1}{4}}\\
{{y_I} = 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)
Vậy \(I\left( { - \frac{1}{4};1} \right)\).
Khi đó, ta có :
\(\overrightarrow {IG} = \left( {\frac{1}{4};0} \right),\overrightarrow {IH} = \left( {\frac{3}{4};0} \right)\).
Do đó \(\overrightarrow {IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IH} \).
Suy ra I, G, H thẳng hàng.
-- Mod Toán 10
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 10
Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK