Cho \(4\) số \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn điều kiện \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9\) và \(3c+4d=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \ri...
Câu hỏi :
Cho \(4\) số \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn điều kiện \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9\) và \(3c+4d=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}\) ?
A. \(\frac{8}{5}\).
B. \(\frac{64}{25}\).
C. \(\frac{7}{5}\).
D. \(\frac{49}{25}\).
* Đáp án
D
* Hướng dẫn giải
Ta có: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.\)
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) gọi \(A\left( a;b \right),B\left( c;d \right).\)
Khi đó \(A\left( a;b \right)\) nằm trên đường tròn tâm \(I\left( 2;3 \right)\) bán kính \(R=2\) có phương trình: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.\) \(B\left( c;d \right)\) nằm trên đường thẳng: \(3x+4y=1.\)
Vì \(\overrightarrow{BA}=\left( a-c;b-d \right)\) nên \(P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}}.\) Khi đó \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left| \overrightarrow{BA} \right|\) nhỏ nhất.
Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( \Delta \right):{{d}_{\left( I,\left( \Delta \right) \right)}}=\frac{3.2+4.3-1}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{17}{5}.\) Vì \({{d}_{\left( I,\left( \Delta \right) \right)}}>R\) nên \(\left( I \right)\) và \(\left( \Delta \right)\) không giao nhau.
Suy ra \(\left| \overrightarrow{BA} \right|\) nhỏ nhất khi \(I,A,B\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(I,B\) và \(IB\bot \left( \Delta \right)\) như hình sau.
.jpg.png)
\(\min \left( \left| \overrightarrow{BA} \right| \right)={{d}_{\left( \mathsf{I,}\left( \Delta \right) \right)}}-R=\frac{17}{5}-2=\frac{7}{5}.\)
\(\min \left( P \right)=\min \left( {{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}} \right)={{\left( \frac{7}{5} \right)}^{2}}=\frac{49}{25}.\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Hàn Thuyên lần 3
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK