Cho hàm số y = x^4 − 3 x^2 + m có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi S 1 , S 2 là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox v...

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:\[{x^4} - 3{x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\]

Đặt\[t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\]  khi đó phương trình (1) trở thành\[{t^2} - 3t + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\]

Vì đồ thị hàm số\[y = {x^4} - 3{x^2} + m\] cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 - 4m > 0}\\{3 > 0(luon\,dung)}\\{m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\left( * \right)\)

Giả sử phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt\[0 < {t_1} < {t_2}\] áp dụng định lí Vi-ét ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 3}\\{{t_1}{t_2} = m}\end{array}} \right.\) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

\[ - \sqrt {{t_2}} < - \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_2}} \]

Do tính đối xứng qua trục tung của hàm đa thức bậc bốn trùng phương nên\[{S_1} = {S_2}\] do đó theo bài ra ta có \[{S_1} + {S_2} = {S_3} \Leftrightarrow 2{S_1} = {S_3}\]

Ta có:

\[{S_2} = \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } f\left( x \right)dx\]

\[{S_3} = \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \limits_0^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx\] (do f(x) là hàm chẵn).

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{S_2} = {S_3}\\ \Leftrightarrow - 2\int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} } \\ \Leftrightarrow 2\left( {\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} + \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {({x^4} - 3{x^2} + m)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} + mx} \right)\left| {_0^{\sqrt {{t_2}} }} \right. = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)}^5}}}{5} - {\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)^3} + m\sqrt {{t_2}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} \left( {\frac{{{t^2}}}{5} - t + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{t_2}^2}}{5} - {t_2} + m = 0\,\,(Do\,\,{t_2} > 0)\,\\ \Leftrightarrow t_2^2 - 5{t_2} + 5m = 0( * )\end{array}\)

Mà \[{t_2}\] là nghiệm của phương trình\[{t^2} - 3t + m = 0\] nên\[t_2^2 - 3{t_2} + m = 0\] và\[{t_2} = \frac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2}\]

Do đó

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow t_2^2 - 3{t_2} + m - 2{t_2} + 4m = 0}\\{ \Leftrightarrow - 2{t_2} + 4m = 0 \Leftrightarrow {t_2} = 2m}\end{array}\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2} = 2m\\ \Leftrightarrow 3 + \sqrt {9 - 4m} = 4m\\ \Leftrightarrow \sqrt {9 - 4m} = 4m - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m - 3 > 0}\\{9 - 4m = 16{m^2} - 24m + 9}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{16{m^2} - 20m = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\left( {tm*} \right)\end{array}\)

Vậy \[a = 5,\,\,b = 4 \Rightarrow 2a - b = 10 - 4 = 6.\]

Đáp án cần chọn là: C