Cho parabol ( P ) : y = x^2 + 1 và đường thẳng ( d ) : y = m x + 2 . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nh...
Câu hỏi :
Cho parabol \[\left( P \right):y = {x^2} + 1\]và đường thẳng \[(d):y = mx + 2\]. Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bới (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.
A.\[S = \frac{8}{3}\]
B. \[S = \frac{4}{3}\]
C. \[S = 4\]
D. \[S = \frac{{16}}{9}\]
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm dd và (P)
Có:\[{x^2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 1 = 0(1) \Rightarrow {\rm{\Delta }} = {m^2} + 4 > 0\]
Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy dd luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi m.
Giả sử A,B lần lượt có hoành độ là a,b nên\[A\left( {a;ma + 2} \right)\]và\[B\left( {b;mb + 2} \right)(a < b)\]
Với x thuộc\[x \in \left( {a;b} \right)\]thì \[mx + 2 \ge {x^2} + 1\]
Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P)
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_a^b {(mx + 2 - x2 - 1)dx} \\ = \int\limits_a^b {(mx - {x^2} + 1)dx = \left( {\frac{{m{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \left| {_a^b} \right.\end{array}\)
\[ = \left( {b - a} \right)\left[ {\frac{m}{2}(a + b) + 1 - \frac{1}{3}({a^2} + {b^2} + ab)} \right]\]
\[ = (b - a)\left[ {\frac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \frac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]\]
\[ \Rightarrow {S^2} = {(b - a)^2}{\left[ {\frac{m}{2}(b + a) + 1 - \frac{1}{3}{{(a + b)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]^2}\]
\[ = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab} \right]{\left[ {\frac{m}{2}\left( {b + a} \right) + 1 - \frac{1}{3}{{\left( {a + b} \right)}^2} + \frac{1}{3}ab} \right]^2}\]
Vì a,b là nghiệm của pt (1) nên a+b=m và ab=−1
Suy ra
\[{S^2} = \left( {{m^2} + 4} \right){\left( {\frac{{{m^2}}}{6} + \frac{2}{3}} \right)^2} \ge 4.\frac{4}{9} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow S \ge \sqrt {\frac{{16}}{9}} = \frac{4}{3}\,khi\,m = 0\]
Đáp án cần chọn là: B
Bạn có biết?
Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.
Nguồn : timviec365.vnTâm sự
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK