Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB=BC=2a. Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC),

* Hướng dẫn giải

Bước 1: Gọi H là trung điểm của AC, chứng minh\[SH \bot \left( {SAC} \right),\,\,BH \bot \left( {SAC} \right)\]

Gọi H là trung điểm của AC ta có\[SH \bot AC\] (do tam giác SAC cân tại S).

Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(SAC) \bot (ABC) = AC}\\{AH \subset (SAC),AH \bot AC}\end{array}} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {ABC} \right)\).  Tương tự \[BH \bot \left( {SAC} \right)\]

Bước 2:  Trong (SAB) kẻ\[BI \bot SA\] chứng minh \[\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HI} \right)\]

Trong (SAB) kẻ \[BI \bot SA\] ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{SA \bot BI}\\{SA \bot BH(do\,BH \bot (SAC))}\end{array}} \right. \Rightarrow SA \bot (BHI) \Rightarrow SA \bot HI\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(SAB) \cap (SAC) = SA}\\{BI \subset (SAB),BI \bot SA}\\{HI \subset (SAC),HI \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BI;HI} \right)\)

Bước 3:  Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Vì\[BH \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BH \bot HI \Rightarrow {\rm{\Delta }}BHI\] vuông tại I.

Do đó\[\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HI} \right) = \angle BHI\]

Tam giác ABC vuông cân tại B có\[AB = BC = 2a\] nên\[BH = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 ,AC = AB\sqrt 2 = 2\sqrt 2 a\]

Ta có: \[SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}} = a\]

\[ \Rightarrow HI = \frac{{SH.AH}}{{SA}} = \frac{{a.\sqrt 2 a}}{{\sqrt 3 a}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{3}\]Xét tam giác vuông BHI có\[\tan \angle BIH = \frac{{BH}}{{IH}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 6 a}}{3}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \angle BIH = {60^0}\]

^{Vậy góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SAC) là} 60⁰