Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều và \(A'A=A'B=A'C.\) Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\) và khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\...
Câu hỏi :
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều và \(A'A=A'B=A'C.\) Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\) và khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
A. \(\frac{4\sqrt{3}}{9}\).
B. \(\frac{16\sqrt{3}}{27}\).
C. \(\frac{16\sqrt{3}}{9}\).
D. \(\frac{16\sqrt{3}}{18}\).
* Đáp án
B
* Hướng dẫn giải
.png)
* Gọi \(H\) là trung điểm \(BC,O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Vì \(A'A=A'B=A'C\) nên hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( ABC \right)\) là điểm \(O\) hay \(A'O\bot \left( ABC \right).\)
Gọi \(E\) là điểm sao cho \(BCAE\) là hình bình hành.
\(\Leftrightarrow d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( \left( AA'E \right);\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( H;\left( AA'E \right) \right).\)
* Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(AA'.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l} A'O \bot AE\\ A'O \bot AE \end{array} \right. \Rightarrow \left( {AA'O} \right) \bot AE \Rightarrow OK \bot AE\)
\(\Rightarrow OK\bot \left( AA'E \right).\)
* Ta có: \(\frac{d\left( O;\left( A'AE \right) \right)}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\frac{OK}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\frac{AO}{AH}=\frac{2}{3}\Rightarrow OK=\frac{2}{3}.\)
* Góc giữa \(AA'\) và \(\left( ABC \right)\) là góc giữa \(AA'\) và \(AO\) bằng \({{60}^{0}}.\)
\(\Rightarrow AO=\frac{OK}{\sin {{60}^{0}}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{AB\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AB=\frac{4}{3}.\)
* \(A'O=AO.\tan {{60}^{0}}=\frac{4}{3}.\)
Vậy \(V=A'O.{{S}_{ABC}}=\frac{4}{3}.\frac{{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{27}.\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Hưng Nhân lần 3
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK