Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S, gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc...

* Hướng dẫn giải

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đoạn CD và AB, ta có:

\(\Delta SAB\) đều \(\Rightarrow AB\bot SF\Rightarrow CD\bot SF\) (do CD||AB) (1)

\(\Delta SCD\) vuông cân tại S \(\Rightarrow CD\bot SE\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(CD\bot \left( SEF \right)\Rightarrow \left( SEF \right)\bot \left( ABCD \right)\) theo giao tuyến EF

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên EF \(\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)

Dựng \(BK\bot AH\) tại K \(\Rightarrow BK\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BK\bot SA\)

Gọi \(M=BK\cap CD\) ta có \(SH\bot \left( ABCD \right)\) hay \(SH\bot \left( BDM \right)\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.BDM}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{BDM}}\)

\(\Delta SCD\) vuông cân tại S \(\Rightarrow SE=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}\)

\(\Delta SAB\) đều cạnh \(AB=a\Rightarrow SF=\frac{a\sqrt{3}}{2};\,\text{EF}=a\)

\(\Rightarrow S{{E}^{2}}+S{{F}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}={{a}^{2}}=E{{F}^{2}}\Rightarrow \Delta SEF\) vuông cân tại S \(\Rightarrow SH=\frac{SE.SF}{EF}=\frac{\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{3{{a}^{2}}}{16}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\) và \(HF=\sqrt{S{{F}^{2}}-S{{H}^{2}}}=\sqrt{\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{3{{a}^{2}}}{16}}=\frac{3a}{4}\)

Ta có \(BK.AH=HF.AB\Rightarrow BK=\frac{HF.AB}{AH}=\frac{\frac{3a}{4}.a}{\frac{a\sqrt{13}}{4}}=\frac{3a}{\sqrt{13}}\)

\(\Delta KBA\) và \(\Delta ABI\) là hai tam giác vuông đồng dạng (với \(I=BM\cap AD\))

\(\begin{align} & \Rightarrow \frac{BI}{AB}=\frac{AB}{BK}\Rightarrow BI=\frac{A{{B}^{2}}}{BK}=\frac{{{a}^{2}}}{\frac{3a}{\sqrt{13}}}=\frac{a\sqrt{13}}{3} \\ & \Rightarrow AI=\sqrt{B{{I}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{\frac{13{{a}^{2}}}{9}-{{a}^{2}}}=\frac{2a}{3}\Rightarrow ID=\frac{a}{3} \\ \end{align}\)

\(\Delta DIM\) và \(\Delta AIB\) là hai tam giác vuông đồng dạng

\(\begin{align} & \Rightarrow \frac{DM}{AB}=\frac{DI}{AI}=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow DM=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta BDM}}=\frac{1}{2}BC.DM=\frac{1}{2}a.\frac{a}{2}=\frac{{{a}^{2}}}{4} \\ & \Rightarrow {{V}_{S.BDM}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta BDM}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{48} \\ \end{align}\)