Cho hình chóp đều S.ABC có góc giữa hai mặt bên và mặt đáy bằng 60 độ

* Hướng dẫn giải

Do \(S.ABC\) là hình chóp đều nên hình chiếu của \(S\) trên\(\left( ABC \right)\) trùng với trọng tâm \(G\) của đáy. Gọi I là trung điểm của \(BC\). Ta có \(AI\bot BC\),\(SI\bot BC\) nên góc giữa mặt bên \(\left( SBC \right)\) và mặt đáy là góc\(\widehat{SIA}=60{}^\circ \). Kẻ \(GK\bot SA\Rightarrow GK=\frac{a}{\sqrt{7}}\)

Giả sử cạnh đáy hình chóp có độ dài là \(x\) ta có \(GA=\frac{x\sqrt{3}}{3},SG=GI.\tan 60{}^\circ =\frac{x\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{x}{2}.\)

Trong tam giác vuông \(SAG\) ta có \(\frac{1}{G{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{G}^{2}}}+\frac{1}{S{{G}^{2}}}\)\(\Leftrightarrow \frac{7}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{4}{{{x}^{2}}}\Rightarrow x=a\)

\(SA=\sqrt{S{{G}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\)

Ta có \(\left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA\). Trong \(\left( SAB \right)\) kẻ \(BM\bot SA\)

Do \(\Delta SAB=\Delta SAC(c.c.c)\)\(\Rightarrow CM\bot SA\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) là góc \(\widehat{BMC}=\alpha \).

+ Tính \(BM\): \(p=\frac{SA+SB+AB}{2}=\frac{\frac{a\sqrt{21}}{6}+\frac{a\sqrt{21}}{6}+a}{2}=\frac{3+\sqrt{21}}{6}a\)

\({{S}_{\Delta SAB}}=\sqrt{p(p-SA)(p-SB)(p-AB)}=\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{2}}\)

\(BM=\frac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{SA}=\frac{2.\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{2}}}{a\frac{\sqrt{21}}{6}}=\frac{2a\sqrt{7}}{7}\)\(\Rightarrow MI=\sqrt{M{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\frac{3a\sqrt{7}}{14}\)

+ \(\Delta MBC\) cân nên có \(MI\bot BC\) và \(\widehat{BMI}=\frac{\alpha }{2}\):\(\tan {\mkern 1mu} \frac{\alpha }{2} = \frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}}{{\frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.\)