Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có
Câu hỏi :
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \[AB = BC\sqrt 5 ,\;AC = 2BC\sqrt 2 \], hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\), trong đó \[a,b \in {\mathbb{N}^*},\;\]a là số nguyên tố. Tổng a+b bằng:
Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có \[AB = BC\sqrt 5 ,\;AC = 2BC\sqrt 2 \], hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\), trong đó \[a,b \in {\mathbb{N}^*},\;\]a là số nguyên tố. Tổng a+b bằng:
A.6
B.5
C.7
D.4
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu của O lên SB.
Ta có:\[OB = \sqrt {\frac{{2B{C^2} + 2B{A^2} - A{C^2}}}{4}} = BC,OC = \frac{1}{2}AC = BC\sqrt 2 \]
Suy ra\[OB \bot BC\]
Dễ thấy\[\angle SBO = \alpha \]và\[OH = d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 1\]
Suy ra\[SO = \frac{{OH}}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{{\cos \alpha }},OB = \frac{{OH}}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha }}\]
\[ \Rightarrow BC = OB = \frac{1}{{\sin \alpha }}\]
Thể tích khối chóp S.ABC là:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SO.2{S_{OBC}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}.\frac{1}{{\cos \alpha }}.{{\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }}} \right)}^2} = \frac{1}{{3\cos \alpha .{{\sin }^2}\alpha }}}\end{array}\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{1 = \frac{1}{2}{{\sin }^2}\alpha + \frac{1}{2}{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha \ge 3.\sqrt[3]{{\frac{1}{4}{{\sin }^4}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{{27}} \ge \frac{1}{4}.si{n^4}\alpha .co{s^2}\alpha \Rightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{2}}\\{ \Rightarrow {V_{S.ABC}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}\]
Vậy\[\min {V_{S.ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].Dấu “=” xảy ra\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{2}{\sin ^2}\alpha = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]
\[ \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2\]
Vậy\[a + b = 3 + 2 = 5\]
Đáp án cần chọn là: B
Bạn có biết?
Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.
Nguồn : timviec365.vnTâm sự
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK