Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng
Câu hỏi :
Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng a và các cạnh bên đều bằng \(a\sqrt 2 \). Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là:
A.\[2\sqrt 6 {a^3}\]
B. \[8{a^3}\]
C. \[\frac{{2\sqrt 6 }}{3}{a^3}\]
D. \[\frac{{7{a^3}}}{{12}}\]
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
Gọi \[O = AC \cap BD\]
Tam giác SAC cân tại S, SO là trung tuyến\[ \Rightarrow SO \bot AC\]
Tam giác SBD cân tại S, SO là trung tuyến \[ \Rightarrow SO \bot BD\]
\[ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\]
Vì \[SA = SB = SC = SDSO \bot \left( {ABCD} \right)\] nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD.
Hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên ABCD phải là hình chữ nhật.
Theo bài ra ta giả sử AD=a và đặt\[AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\]
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có:
\[AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \]
\[ \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}} \]
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA có:
\[SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {2{a^2} - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \]
Khi đó ta có
\[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\sqrt {7{a^2} - {x^2}} .ax = \frac{a}{6}x\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \]
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\[x\sqrt {7{a^2} - {x^2}} \le \frac{{{x^2} + 7{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{7{a^2}}}{2}\]
\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \frac{a}{6}.\frac{{7{a^2}}}{2} = \frac{{7{a^3}}}{{12}}\]
Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow {x^2} = 7{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\]
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng\[\frac{{7{a^3}}}{{12}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\]
Đáp án cần chọn là: D
Bạn có biết?
Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.
Nguồn : timviec365.vnTâm sự
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK