Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích
Câu hỏi :
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích \[V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\]. Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?
A.\[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]
B. \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
C. \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\]
D. \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
Gọi\[O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\]
Vì khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r nên \[J \in SO.\]
Gọi M là trung điểm của CD, trong (SOM) kẻ \[OH \bot SM\] ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot OM}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SOM) \Rightarrow CD \bot OH\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{OH \bot CD}\\{OH \bot SM}\end{array}} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD)\end{array}\)
Trong (SOM) kẻ\[JK\parallel OH \Rightarrow JK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {J;\left( {SCD} \right)} \right) = JK\]
Có\[d\left( {J;\left( {ABCD} \right)} \right) = JO\]
Theo bài ra ta có\[JK = JO = r\]
Ta có\[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \Rightarrow \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{1}{3}SO.{a^2} \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\[OH = \frac{{SO.OM}}{{\sqrt {S{O^2} + O{M^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{4}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]
Áp dụng định lí Ta-lét ta có
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{JK}}{{OH}} = \frac{{SJ}}{{SO}} \Rightarrow \frac{r}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} - r}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}}\\{ \Leftrightarrow 2r = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} - r}\\{ \Leftrightarrow 3r = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D
Bạn có biết?
Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.
Nguồn : timviec365.vnTâm sự
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK