Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn

Câu hỏi :

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \]. Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số \[\frac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}}\] là

A.\[\frac{3}{8}\]

B. \[\frac{4}{9}\]

C. \(\frac{1}{2}\)

D. \[\frac{5}{9}\]

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn  (ảnh 1)

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 3\overrightarrow {GO} }\\{ \Rightarrow \overrightarrow {GA} + 3\overrightarrow {GO} = \vec 0}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {GA} = - 3\overrightarrow {GO} }\\{ \Rightarrow \frac{{AG}}{{AO}} = \frac{3}{4}}\end{array}\]

Trong (ABE) gọi\[F = BG \cap AE\,\,\left( {F \in AE} \right)\]

Lấy\[M \in AC\]  trong (ACD) gọi\[N = MF \cap AD\,\,\,\left( {N \in AD} \right)\] khi đó ta có mặt phẳng chứa BG cắt AC,AD lần lượt tại M,N chính là (BMN).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:

\[\frac{{GA}}{{GO}}.\frac{{BO}}{{BE}}.\frac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow 3.\frac{2}{3}.\frac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow \frac{{FE}}{{FA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AF}}{{AE}} = \frac{2}{3} \Rightarrow F\] là trọng tâm tam giác ACD.

Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H. Đặt \[\frac{{AM}}{{AC}} = x\left( {0 < x < 1} \right)\]

 Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:\[\frac{{MA}}{{MC}}.\frac{{HC}}{{HE}}.\frac{{FE}}{{FA}} = 1 \Rightarrow \frac{x}{{1 - x}}.\frac{{HC}}{{HE}}.\frac{1}{2} = 1 \Rightarrow \frac{{HC}}{{HE}} = \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{x}\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow HE = \frac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC}\\{ \Rightarrow HC + CE = \frac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC}\\{ \Rightarrow CE = \frac{{3x - 2}}{{2\left( {1 - x} \right)}}HC}\end{array}\]

Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{HD = HC + 2CE}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\, = HC + \frac{{3x - 2}}{{1 - x}}HC = \frac{{2x - 1}}{{1 - x}}HC}\\{ \Rightarrow \frac{{HE}}{{HD}} = \frac{x}{{2\left( {1 - x} \right)}}:\frac{{2x - 1}}{{1 - x}} = \frac{x}{{2\left( {2x - 1} \right)}}}\end{array}\]

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{FA}}{{FE}}.\frac{{HE}}{{HD}}.\frac{{ND}}{{NA}} = 1 \Rightarrow 2.\frac{x}{{2\left( {2x - 1} \right)}}.\frac{{ND}}{{NA}} = 1}\\{ \Rightarrow \frac{{ND}}{{NA}} = \frac{{2x - 1}}{x} \Rightarrow \frac{{NA}}{{ND}} = \frac{x}{{2x - 1}}}\\{ \Rightarrow \frac{{NA}}{{NA + ND}} = \frac{x}{{x + 2x - 1}} = \frac{x}{{3x - 1}}}\\{ \Rightarrow \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{x}{{3x - 1}}}\end{array}\]

Khi đó ta có\[\frac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{AM}}{{AC}}.\frac{{AN}}{{AD}} = x.\frac{x}{{3x - 1}} = \frac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\,\,\left( {x > \frac{1}{3}} \right)\]

Xét hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\,\,\left( {x > \frac{1}{3}} \right)\]  ta có

\[f'\left( x \right) = \frac{{2x\left( {3x - 1} \right) - 3{x^2}}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{3{x^2} - 2x}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}};f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\,(ktm)}\\{x = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\]

BBT:

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn  (ảnh 2)

Dựa vào BBT ta thấy\[\mathop {\min }\limits_{\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{9}\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số\[\frac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{4}{9}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Thể tích của khối chóp !!

Số câu hỏi: 33

Bạn có biết?

Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.

Nguồn : timviec365.vn

Tâm sự

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK