Bài tập 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) \(\small cosx - \sqrt{3}sinx = \sqrt{2}\)
b) \(\small 3sin3x - 4cos3x = 5\)
c) \(\small 2sin2x + 2cos2x -\sqrt{2} = 0\)
d) \(\small 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0\)
Phương pháp giải:
- Xét phương trình: \(a\sin x + b\cos x = c{\rm{ (1)}}\)
Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)
Phương trình trở thành:
\(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.
- Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Lời giải:
Câu a:
\(\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}.\cos x - \cos \frac{\pi }{6}.\sin x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
Câu b:
\(3\sin 3x - 4\cos 3x = 5 \Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin 3x - \frac{4}{5}\cos 3x = 1.\)
Đặt \(\cos \alpha = \frac{3}{5},\,\sin \alpha = \frac{4}{5},\) suy ra:
\(\sin (3x - \alpha ) = 1 \Leftrightarrow 3x - \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\alpha }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\)
Câu c:
\(\begin{array}{l}2\sin x + 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} - \sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
Câu d:
\(\begin{array}{l}5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0\\ \Leftrightarrow 12\sin 2x + 5\cos 2x = 13\\ \Leftrightarrow \frac{{12}}{{13}}\sin 2x + \frac{5}{{13}}\cos 2x = 1\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \sin (2x + \alpha ) = 1\) \(\left( {\sin \alpha = \frac{5}{{13}};\,\cos \alpha = \frac{{12}}{{13}}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x + \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} - \frac{\alpha }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\end{array}\)
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK