Bài tập 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 37 SGK Đại số & Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a) \(\small 2sin^ 2x + sinxcosx - 3cos^2x = 0\)
b) \(\small 3sin^2x - 4sinxcosx + 5cos^2x = 2\)
c) \(\small 3sin^2x - sin2x + 2cos^2x = \frac{1}{2}\)
d) \(\small 2cos^2x -3\sqrt{3}sin2x -4sin^2x = -4\)
Phương pháp giải:
Xét phương trình: \(a\sin {}^2x + b\sin x\cos x + c\cos {}^2x = d \)
Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) hay không
Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của (1) cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d(1 + {\tan ^2}x)\)
\( \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0\) \(\left( {1'} \right)\)
Đặt \(t = \tan x\)
Phương trình \(\left( {1'} \right)\) trở thành: \((a - d){t^2} + bt + c - d = 0{\rm{ (2)}}\)
Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo \(t = \tan x\).
Lời giải:
Câu a:
Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Chia hai vế cho cos2x ta được:
\(\Rightarrow 2tan^2x+tanx-3=0\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} tan x = 1\\ \\ tan x = -\frac{3}{2} \end{matrix}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x= \frac{\pi }{4}+k \pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ x= arctan\left (-\frac{3}{2} \right )+k \pi \end{matrix} , k\in \mathbb{Z}\)
Câu b:
Ta nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình:
\(3sin^2x+4sinxcosx+5cos^2x=2\), nên chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: \(3tan^2x-4tanx+5=2(1+tan^2x)\)
\(\Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0\)
Đặt t = tanx
Ta có phương trình \(t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=1\\ t=3 \end{matrix}\)
\(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow tanx=tan\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\).
\(t=3\Rightarrow tanx=3\Rightarrow x= arctan(3)+k \pi, (k\in \mathbb{Z})\)
Vậy phương trình có nghiệm là: \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x= arctan(3)+k \pi \end{matrix} , (k\in \mathbb{Z})\)
Câu c:
\(sin^2x+sin2x-2cos^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow sin^2x+2sinxcosx-2cos^2x=\frac{1}{2}\) (3)
* \(cosx=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\) không là nghiệm của (3)
* \(cosx\neq 0\), chia hai vế của (3) cho \(cos^2x\), ta được:
\(\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{2sinx}{cosx}-2=\frac{1}{2cos^2x}\Rightarrow tan^2x+2tanx-2=\frac{1}{2}(1+tan^2x)\)
\(\Rightarrow 2tan^2x+4tanx-4=1+tan^2x\)
\(\Rightarrow tan^2x +4tanx-5=0\)
Đặt t = tanx, ta có phương trình:
\(t^2+4t-5=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ t=-5 \end{matrix}\)
- \(t=1\Rightarrow tanx=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\)
- \(t=-5 \Rightarrow tanx=-5\Rightarrow x=arctan(-5)+k\pi, k\in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k \pi \\ \\ x=arctan(-5)+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)
Câu d:
\(2cos^2x - 3\sqrt{3}sin2x - 4sin^2x = -4\)
\(\Leftrightarrow 2cos^2x - 6\sqrt{3}sinxcosx -4(1-cos^2x)+4= 0\)
\(\Leftrightarrow 2cos^2x - 6\sqrt{3}sinxcosx - 4+4cos^2x+4= 0\)
\(\Leftrightarrow 6cos^2x-6\sqrt{3}sinxcosx=2\)
\(\Leftrightarrow 6cosx(cosx - \sqrt{3}sinx) = 0\)
\(\Bigg \lbrack\begin{matrix} cosx=0\\ \\ cosx-\sqrt{3}sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z}\\ \\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\ \\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(\Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{2}+k\pi\\ \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{matrix}, k\in \mathbb{Z}\)
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK