Bài tập 36 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 36 trang 42 SGK Toán 11 NC
Giải các phương trình sau:
a. \(\tan \frac{x}{2} = \tan x\)
b. \(\tan \left( {2x + {{10}^0}} \right) + \cot x = 0\)
c. \(\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x\)
d. tanx+tan2x = sin3xcosx
e. tanx+cot2x = 2cot4x
a) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \frac{x}{2} \ne 0\\
\cos x \ne 0
\end{array} \right.\)
Ta có \(\tan \frac{x}{2} = \tan x \Leftrightarrow x = \frac{x}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = k2\pi,k\in Z \) (nhận)
b)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \left( {2x + {{10}^0}} \right) \ne 0\\
\sin x \ne 0
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\tan \left( {2x + {{10}^0}} \right) + \cot x = 0\\
\Leftrightarrow \tan \left( {2x + {{10}^0}} \right) = \tan \left( {{{90}^0} + x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2x + {10^0} = {90^0} + x + k{180^0}\\
\Leftrightarrow x = {80^0} + k{180^0}
\end{array}
\end{array}\)
Hiển nhiên x = 800+k1800 thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 800+k1800
c) Đặt t = tanx, với điều kiện cosx ≠ 0.
Ta có \(\sin 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\)
Do đó \(1 + \sin 2x = 1 + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}{{1 + {t^2}}}\)
Vậy ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}
\left( {1 - t} \right)\frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}{{1 + {t^2}}} = 1 + t\\
\Leftrightarrow \left( {1 - t} \right){\left( {1 + t} \right)^2} = \left( {1 + t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\
\Leftrightarrow 2{t^2}\left( {1 + t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 0\\
t = - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 0\\
\tan x = - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = - \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)
d) ĐKXĐ: cosx ≠ 0 và cos2x ≠ 0. Với điều kiện đó, ta có:
\(\begin{array}{l}
\tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin 3x}}{{\cos x\cos 2x}} = \sin 3x\cos x\\
\Leftrightarrow \sin 3x\left( {\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} - \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 3x = 0\\
\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} = \cos x
\end{array} \right.
\end{array}\)
- \(\left[ \begin{array}{l}
\sin 3x = 0 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}\\
\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} = \cos x
\end{array} \right.\) - \(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{\cos x\cos 2x}} = \cos x\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x\cos 2x = 1\\
\Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2x = 2
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {{\cos }^2}x + \cos 2x - 2 = 0}\\
{\cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi }
\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm
\(x = k\frac{\pi }{3}\left( {k \in Z} \right)\)
e) ĐKXĐ: cosx ≠ 0, sin2x ≠ 0 và sin4x ≠ 0.
Tuy nhiên chỉ cần sin4x ≠ 0 là đủ (vì sin4x = 2sin2xcos2x = 4sinxcosxcos2x). Với điều kiện đó ta có:
\(\begin{array}{l}
\tan x + \cot 2x = 2\cot 4x\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = \frac{{2\cos 4x}}{{\sin 4x}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x\sin 2x + \cos x\cos 2x}}{{\cos x\sin 2x}} = \frac{{2\cos 4x}}{{2\sin 2x\cos 2x}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\cos \left( {2x - x} \right)}}{{\cos x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\cos 2x}}\\
\Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\
\Leftrightarrow 4x = \pm 2x + k2\pi \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = k\frac{\pi }{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{3}
\end{array}\)
Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện sin4x ≠ 0.
Ta có:
- Nếu k chia hết cho 3, tức là k = 3m (m ∈ Z) thì:
- Nếu k không chia hết cho 3, tức là k = 3m±1 (m ∈ Z) thì:
\(\begin{array}{l}
\sin 4x = \sin \left( { \pm \frac{{4\pi }}{3} + 4m\pi } \right)\\
= \pm \sin \frac{\pi }{3} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} \ne 0
\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = k\frac{\pi }{3}\) với k nguyên và không chia hết cho 3.
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK