Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC
Bài tập 32 trang 42 SGK Toán 11 NC
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:
a. asinx+bcosx (a và b là hằng số, a2+b2 ≠ 0) ;
b. sin2x+sinxcosx+3cos2x;
c. Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x (A, B và C là hằng số).
a) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a\sin x + b\cos x\\
= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right)\\
= \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)
\end{array}
\end{array}\)
(trong đó \(\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\))
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của asinx+bcosxx lần lượt là:
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) và \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
b) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\\
= \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2}
\end{array}\\
{ = \frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x + 2}
\end{array}\)
Ta có \(\left| {\frac{1}{2}\sin 2x + \cos 2x} \right| \le \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của sin2x+sinxcosx+3cos2x lần lượt là:
\(\frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2, - \frac{{\sqrt 5 }}{2} + 2\)
c) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{A{{\sin }^2}x + B\sin x\cos x + C{{\cos }^2}x}\\
{ = A.\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{B}{2}.\sin 2x + C.\frac{{1 + \cos 2x}}{2}}\\
\begin{array}{l}
= \frac{B}{2}.\sin 2x + \frac{{C - A}}{2}.\cos 2x + \frac{{C + A}}{2}\\
= a\sin 2x + b\cos 2x + c
\end{array}
\end{array}\)
trong đó \(a = \frac{B}{2},b = \frac{{C - A}}{2},c = \frac{{C + A}}{2}\)
Vậy Asin2x+Bsinxcosx+Ccos2x đạt giá trị lớn nhất là:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c = \sqrt {\frac{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}}}{4}} + \frac{{C + A}}{2}\\
= \frac{1}{2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)} + \frac{{C + A}}{2}
\end{array}\)
và giá trị nhỏ nhất là \( - \frac{1}{2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + \frac{{C + A}}{2}\).
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK