Hai con lắc lò xo dao động điều hòa có động năng biến thiên theo thời gian

* Hướng dẫn giải

Từ đồ thị ta thấy:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{W}_{d1\max }}=1,5{{W}_{d2\max }}\Leftrightarrow {{m}_{1}}{{\omega }_{1}}A_{1}^{2}=1,5{{m}_{2}}{{\omega }_{2}}A_{2}^{2} \\ {{T}_{d1}}={{T}_{d2}}\Rightarrow {{\omega }_{1}}={{\omega }_{2}} \\ \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow {{m}_{1}}A_{1}^{2}=1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}\left( 1 \right)\)

Khi thế năng hai con lắc bằng nhau:

\({{W}_{t1}}={{W}_{t2}}\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\omega }_{1}}x_{1}^{2}=\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\omega }_{2}}x_{2}^{2}\Leftrightarrow {{m}_{1}}x_{1}^{2}={{m}_{2}}x_{2}^{2}\left( 2 \right)\)

Tỉ số động năng của hai con lắc khi đó:

\(\frac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\frac{{{m}_{1}}v_{1}^{2}}{{{m}_{2}}v_{2}^{2}}=\frac{{{m}_{1}}\left( A_{1}^{2}-x_{1}^{2} \right)}{{{m}_{2}}\left( A_{2}^{2}-x_{2}^{2} \right)}=\frac{{{m}_{1}}A_{1}^{2}-{{m}_{1}}x_{1}^{2}}{{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}\left( 3 \right)\)

Thay (1); (2) vào (3) ta được:

\(\frac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\frac{1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}{{{m}_{2}}A_{2}^{2}-{{m}_{2}}x_{2}^{2}}=\frac{1,5A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}=\frac{1,5-\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}}{1-\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}}\left( 4 \right)\)

Từ đồ thị ta thấy (1) và (2) dao động vuông pha nên:

\(\frac{x_{1}^{2}}{A_{1}^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{\frac{{{m}_{2}}x_{2}^{2}}{{{m}_{1}}}}{\frac{1,5{{m}_{2}}A_{2}^{2}}{{{m}_{1}}}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\)\(\Leftrightarrow \frac{x_{2}^{2}}{1,5A_{2}^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1\Rightarrow \frac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=0,6\left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow \frac{{{W}_{d1}}}{{{W}_{d2}}}=\frac{1,5-0,6}{1-0,6}=\frac{9}{4}\)