Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có dạg \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \).

* Hướng dẫn giải

Do \({{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}>{{a}_{5}}>{{a}_{6}}>{{a}_{7}}\) và các chữ số là khác nhau nên \(6\le {{a}_{4}}\le 9\).

Do \({{a}_{1}}\ne 0\Rightarrow 0<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}\).

TH1: \({{a}_{4}}=6\Rightarrow {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}},{{a}_{7}}\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\}\)

Chọn 3 số trong 6 số trên cho cặp \({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\) có \(C_{5}^{3}\) cách chọn (không chọn số 0).

3 số còn lại có 1 cách chọn.

\(\Rightarrow \) Có \(C_{5}^{3}=10\) số 10 số này thỏa mãn luôn có mặt chữ số 2.

TH2: \({{a}_{4}}=7\Rightarrow {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}},{{a}_{5}},{{a}_{6}},{{a}_{7}}\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}\).

Chọn 3 số trong 7 (không chọn số 0) số trên cho cặp \({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\) có $C_{6}^{3}\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_{4}^{3}\) cách chọn.

\(\Rightarrow \) Có \(C_{6}^{3}C_{4}^{3}=80\) số 80 số này có thể có hoặc không có mặt chữ số 2.

+) Chọn 3 số trong 7 số trên (không chọn số 0; 2) cho cặp \({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\) có \(C_{5}^{3}\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_{3}^{3}=1\) cách chọn.

\(\Rightarrow \) Có \(C_{5}^{3}=10\) số 10 số này không có mặt chữ số 2.

Vậy TH2 có 70 số thỏa mãn luôn có mặt chữ số 2.

TH3: \({{a}_{4}}=8\Rightarrow {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{5}},{{a}_{6}},{{a}_{7}}\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7 \right\}\).

Chọn 3 số trong 8 số trên (không chọn số 0) cho cặp \({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\) có \(C_{7}^{3}\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_{5}^{3}\) cách chọn.

\(\Rightarrow \) Có \(C_{7}^{3}C_{5}^{3}=\) số 350 số này có thể có hoặc không có mặt chữ số 2.

+) Chọn 3 số trong 8 số trên (không chọn số 0; 2) cho cặp \({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\) có \(C_{6}^{3}\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_{4}^{3}=4\) cách chọn.

\(\Rightarrow \) Có \(C_{6}^{3}.C_{4}^{3}=80\) số 80 số này không có mặt chữ số 2.

Vậy TH3 có 350-80=270 số thỏa mãn luôn có mặt chữ số 2.

TH4: \({{a}_{4}}=9\Rightarrow {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{5}},{{a}_{6}},{{a}_{7}}\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8 \right\}\).

Chọn 3 số trong 9 số trên (không chọn số 0) cho cặp \({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\) có \(C_{8}^{3}\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_{6}^{3}\) cách chọn.

\(\Rightarrow \) Có \(C_{8}^{3}C_{6}^{3}=1120\) số.

+) Chọn 3 số trong 9 số trên (không chọn số 0; 2) cho cặp \({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}\) có \(C_{7}^{3}\) cách chọn.

3 số còn lại có \(C_{5}^{3}\) cách chọn.

\(\Rightarrow \) Có \(C_{7}^{3}.C_{5}^{3}=350\) số 350 số này không có mặt chữ số 2.

Vậy TH4 có 1120-350=770 số thỏa mãn luôn có mặt chữ số 2.

Gọi A là biến cố: “Số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau thỏa mãn \({{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<{{a}_{4}}>{{a}_{5}}>{{a}_{6}}>{{a}_{7}}\) luôn có mặt chữ số 2”.

\(\Rightarrow n\left( A \right)=10+70+270+770=1120\) cách.

\(n\left( \Omega  \right)=9.9.8.7.6.5.4=544320\).

Vậy \(P\left( A \right)=\frac{1120}{544320}=\frac{1}{486}\).