Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và . Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số đồng biến trên .

Câu hỏi :

Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{137}}{{16}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020\,;\,\,2020} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = {e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

A. 4040

B. 4041

C. 2019

D. 2020

* Đáp án

D

* Hướng dẫn giải

Ta có \(g'\left( x \right) = \left( { - 2x + 4m} \right).{e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f\left( x \right) + {e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}.f'\left( x \right)\).

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) = \left[ {\left( { - 2x + 4m} \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right].{e^{ - {x^2} + 4mx - 5}}\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\frac{1}{2}} \right)\) và g'(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

\( \Leftrightarrow \left( { - 2x + 4m} \right).f\left( x \right) + f'\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\) (vì \({e^{ - {x^2} + 4mx - 5}} > 0\))

\(\Leftrightarrow - 2x + 4m \ge - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\), (vì \(f\left( x \right) > 0,\,\forall x \in R\))

\( \Leftrightarrow 4m \ge 2x - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\) (*)

Xét \(h\left( x \right) = 2x - \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}},\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\). Ta có \(h'\left( x \right) = 2 - \frac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}}\).

\(\left\{ \begin{array}{l} f''\left( x \right) < 0\\ f\left( x \right) > 0 \end{array} \right.,\,\forall x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} < 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\frac{1}{2}} \right)\).

Từ đó suy ra \(h'\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left( { - 1;\,\frac{1}{2}} \right)\). Vậy hàm số h(x) đồng biến trên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

Bảng biến thiên

Vậy điều kiện (*) \( \Leftrightarrow 4m \ge h\left( {\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow 4m \ge 2.\left( {\frac{1}{2}} \right) - \frac{{f'\left( {\frac{1}{2}} \right)}}{{f\left( {\frac{1}{2}} \right)}} \Leftrightarrow 4m \ge \frac{{225}}{{137}} \Leftrightarrow m \ge \frac{{225}}{{548}}\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l} m \in Z\\ m \in \left[ { - 2020;\,2020} \right] \end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {1;\,2;\,3;\,...;\,2020} \right\}\).

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK