Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x(0 var DOMAIN = "https://ho...
Câu hỏi :
Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x(0 < x < a\sqrt 3 )\), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{a\sqrt m }}{n}(m,n \in N*)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(m + 2n = 10\)
B. \(2{m^2} - 3n < 15\)
C. \({m^2} - n = 30\)
D. \(4m - {n^2} = - 20\)
* Đáp án
A
* Hướng dẫn giải
|
Cách giải: Vì \(SA = SB = SD = a\) nên hình chiếu vuông của S trên (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD \( \Rightarrow SH \bot (ABCD)\). Do tam giác ABD cân tại A \( \Rightarrow H \in AC\) Dễ dàng chứng minh được: \(\Delta SBD = \Delta ABD(c.c.c) \Rightarrow SO = AO = \frac{{AC}}{2} \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại S (Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy) |
|
.png)
\( \Rightarrow AC = \sqrt {S{A^2} + S{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có \(SH = \frac{{SA.SC}}{{AC}} = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)
Ta có
\(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}} \Rightarrow OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2} \Rightarrow BD = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)
Do ABCD là hình thoi \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD\). Khi đó ta có:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}.\frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\sqrt {{a^2} + {x^2}} .\sqrt {3{a^2} - {x^2}} = \frac{1}{6}ax\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \le \frac{{{x^2} + 3{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{3{a^2}}}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} \le \frac{1}{6}a\frac{{3{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 3{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{a\sqrt m }}{n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 6\\
n = 2
\end{array} \right. \Rightarrow m + 2n = 10\)
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2019 môn Toán Trường THPT Chuyên Bắc Ninh lần 3
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK