Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân với đáy AB=2a, AD=BC=CD=a

Câu hỏi :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân với đáy AB = 2a,AD = BC = CD = a mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) bằng , tính theo a thể tích V của khối chóp 

A. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

B. \(V = \frac{{3{a^3}}}{4}\)

C. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 5 }}{4}\)

D. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}\)

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Gọi O, I là trung điểm của AB, BC; H là hình chiếu vuông góc của O lên SI.

Tam giác SAB cân tại S  \( \Rightarrow SO \bot AB\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
{\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB}\\
{SO \subset \left( {SAB} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
{SO \bot AB\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}
\end{array}} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

ABCD là hình thang cân với đáy \(AB = 2a,AD = BC = CD = a \Rightarrow \Delta OAD,\Delta OCD,\Delta OBC\)  đều là các tam giác đều, cạnh a   \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = 3.{S_{OBC}} = 3.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(\Delta OBC\) đều, I là trung điểm của BC \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{OI \bot BC}\\
{OI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}
\end{array}} \right.\)

Mà \(BC \bot SO\) (do \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) )

\( \Rightarrow BC \bot \left( {SOI} \right) =  > BC \bot OH\)

Lại có: \(SI \bot OH =  > OH \bot \left( {SBC} \right) =  > d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\)  (2)

Từ (1), (2) suy ra: 

\(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2.OH = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5} =  > OH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

\(\Delta SOI\) vuông tại O

\(OH \bot SI =  > \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{\frac{3}{4}{a^2}}} = \frac{1}{{\frac{3}{5}{a^2}}} \Leftrightarrow SO = a\sqrt 3 \)

Thể tích khối chóp S.ABCD là: \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

 

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK