Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =

Câu hỏi :

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là \[\alpha \] . Tính \[cos\alpha \] biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.

A.\[2 - \sqrt 3 \]

B. \[2\sqrt 3 - 3\]

C. \[3 - 2\sqrt 3 \]

D. \[\sqrt 2 - 1\]

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD = (ảnh 1)

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên\[CM \bot AB,DM \bot AB\]

Ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABC) \cap (ABD) = AB}\\{CM \bot AB,CM \subset (ABC)}\\{DM \bot AB,DM \subset (ABD)}\end{array}} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {CM;DM} \right)\)

Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{C{M^2} = A{C^2} - A{M^2}}\\{ \Rightarrow CM = \sqrt {A{C^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\end{array}\]

Tương tự \[DM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]

Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :

Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên \[IK = IM = IN,IK \bot AD\].

Xét tam giác AMI và AKI có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {AMI} = \widehat {AKI} = {{90}^0};}\\{AI\,chung;}\\{IM = IK\left( {cmt} \right);}\end{array}\]

Do đó \[{\rm{\Delta }}AMI = {\rm{\Delta }}AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)\[ \Rightarrow AK = AM = \frac{a}{2}\] (cạnh tương ứng).

Tương tự : \[{\rm{\Delta }}DNI = {\rm{\Delta }}DKI\] (cạnh huyền – cạnh  góc vuông)

\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow DN = DK = AD - AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{a}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}}\\{ \Rightarrow DC = 2DN = 2.\frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2} = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}\end{array}\]

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \widehat {CMD} = \frac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 - 3 > 0}\\{ \Rightarrow \cos \alpha = \cos \widehat {CMD} = 2\sqrt 3 - 3}\end{array}\]

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp đa diện !!

Số câu hỏi: 33

Bạn có biết?

Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.

Nguồn : timviec365.vn

Tâm sự

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK