Có bao nhiêu cách phân tích số \({15^9}\) thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({15^9} = {3^9}{.5^9}\). Đặt \(a = {3^m}{.5^x},b = {3^n}{.5^y},c = {3^p}{.5^z}\).

Khi đó \({15^9} = a.b.c = {3^{m + n + p}}{.5^{x + y + z}} = {3^9}{.5^9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + n + p = 9\\x + y + z = 9\end{array} \right.\)

+) TH1: \(3\) số \(a,b,c\) giống nhau thì \(m = n = p = 3,x = y = z = 3\) nên có \(1\) cách.

+) TH2: \(2\) trong ba số giống nhau và khác số còn lại, giả sử \(a = b \Rightarrow m = n,x = y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + p = 9\\2x + z = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 9 - 2m\\z = 9 - 2x\end{array} \right.\)

Do \(p \ge 0,z \ge 0\) nên \(0 \le m \le 4,0 \le x \le 4\) nên có \(5\) cách chọn \(m\) và \(5\) cách chọn \(x\).

Ngoài ra \(m = x = n = y = p = z = 3\) trùng với TH1 nên trong trường hợp này ta chỉ có \(5.5 - 1 = 24\) cách chọn.

+) TH3: Số cách chọn ba số \(m,n,p\) phân biệt có tổng bằng \(9\) là \(C_{11}^2\) và số cách chọn ba số \(x,y,z\) phân biệt có tổng bằng \(9\) là \(C_{11}^2\).

Suy ra số cách chọn ba số \(a,b,c\) phân biệt là \(C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1 = 2592\) cách chọn.

Vậy số cách phân tích (ba số không phân biệt thứ tự) là \(\dfrac{{2592}}{{3!}} + 25 = 517\) cách.

Chọn A.