Cho hàm số \(y={{x}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\), biết rằng tồn tại hai điểm A,B thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến tại A,B và đường thẳng vuông góc với...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(A\left( {a\,;\,{a^2}} \right)\) và \(B\left( {b\,  ;\,{b^2}} \right)\). Không mất tính tổng quát, ta xét a>0 và b<0

Gọi: d₁ là đường tiếp tuyến với (C) tại A, d₂ là đường tiếp tuyến với (C) tại B.

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{d_1}} \right):y = 2ax - {a^2}}\\ {\left( {{d_2}} \right):y = 2bx - {b^2}} \end{array}} \right.\).

Do \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\) nên

\({k_{\left( {{d_1}} \right)}}.{k_{\left( {{d_2}} \right)}} =  - 1 \Leftrightarrow \left( {2a} \right).\left( {2b} \right) =  - 1 \Rightarrow b = \frac{{ - 1}}{{4a}} \Rightarrow B\left( {\frac{{ - 1}}{{4a}}\,;\,\frac{1}{{16{a^2}}}} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {{d_2}} \right):y = \frac{{ - x}}{{2a}} - \frac{1}{{16{a^2}}}\)

\({d_1} \cap {d_2}\) tại \(E\left( {\frac{{4{a^2} - 1}}{{8a}}\,;\,\frac{{ - 1}}{4}} \right)\) ⇒ chiều dài \(D = \frac{{\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 1} \right)}^3}} }}{{8a}}\) và chiều rộng \(R = \frac{{\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 1} \right)}^3}} }}{{16{a^2}}}\).

Mà \(D = 2.R \Rightarrow a = 1 \Rightarrow {S_2} = \frac{{{{\left( {4{a^2} + 1} \right)}^3}}}{{128{a^3}}} = \frac{{125}}{{128}}\) và suy ra \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{d_1}} \right):y = 2x - 1\\ \left( {{d_2}} \right):y = \frac{{ - x}}{2} - \frac{1}{{16}} \end{array} \right.\) và \(E\left( {\frac{3}{8};\frac{{ - 1}}{4}} \right)\).

Suy ra \({S_1} = \int\limits_{ - \frac{1}{4}}^{\frac{3}{8}} {\left[ {{x^2} - \left( {\frac{{ - x}}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)} \right]} dx + \int\limits_{\frac{3}{8}}^1 {\left[ {{x^2} - \left( {2x - 1} \right)} \right]} dx = \frac{{125}}{{768}}\).

Như vậy tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{125}}{{768}}.\frac{{128}}{{125}} = \frac{{128}}{{768}} = \frac{1}{6}\).