Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) và (...
Câu hỏi :
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\) và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCD) và (SDA). Thể tích của khối chóp O.MNPQ bằng
A. \(\frac{{{a^3}}}{{48}}\)
B. \(\frac{{2{a^3}}}{{81}}\)
C. \(\frac{{{a^3}}}{{81}}\)
D. \(\frac{{{a^3}}}{{96}}\)
* Đáp án
D
* Hướng dẫn giải
.png)
Gọi M', N', P', Q' lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
Ta có \(AB \bot OM'\) và \(AB \bot SO\) nên \(AB \bot \left( {SOM'} \right)\).
Suy ra \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SOM'} \right)\) theo giao tuyến SM'.
Theo giả thiết ta có \(OM \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(OM \bot SM'\), do đó M là hình chiếu vuông góc của O trên SM'.
Tương tự như vậy: N, P, Q là hình chiếu vuông góc của O lần lượt trên SN', SP', SQ'.
Ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{2{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2} = OM'\).
Suy ra tam giác SOM' vuông cân tại O nên M là trung điểm của SM'.
Từ đó dễ chứng minh được MNPQ là hình vuông có tâm I thuộc SO và nằm trong mặt phẳng song song với (ABCD), với I là trung điểm của SO.
Suy ra \(OI = \frac{1}{2}OS = \frac{a}{4}\).
Do đó \(MN = \frac{1}{2}M'N' = \frac{1}{4}AC = \frac{{\sqrt 2 a}}{4}\).
Thể tích khối chóp O.MNPQ bằng \(\frac{1}{3}{S_{MNPQ}}.OI = \frac{1}{3}.M{N^2}.OI = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{8}.\frac{a}{4} = \frac{{{a^3}}}{{96}}\).
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Nguyễn Thị Diệu
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 12
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK