Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số k để phương trình \({4^{ - \left| {x - k} \right|}}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{ - {x^2} + 2x}}{\log...

* Hướng dẫn giải

\({4^{ - \left| {x - k} \right|}}{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{ - {x^2} + 2x}}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - k} \right| + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {2^{ - 2\left| {x - k} \right| + 1}}{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - {2^{ - {x^2} + 2x}}{\log _2}\left( {2\left| {x - k} \right| + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x + 3}}{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {2^{2\left| {x - k} \right| + 2}}{\log _2}\left( {2\left| {x - k} \right| + 2} \right)\)    (1)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\\ v = 2\left| {x - k} \right| + 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u \ge 2\\ v \ge 2 \end{array} \right.\),

phương trình (1) trở thành \({2^u}.{\log _2}u = {2^v}.{\log _2}v\)               (2)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}.{\log _2}t\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {2;\, + \infty } \right)\)

\(f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2.{\log _2}t + {2^t}.\frac{1}{{t\ln 2}} > 0,\,\,\forall t \ge 2\). Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {2;\, + \infty } \right)\).

Phương trình (2) có dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v\) (vì \(u;\,v \in \left[ {2;\, + \infty } \right)\)).

Thay lại theo cách đặt ta có \({x^2} - 2x + 3 = 2\left| {x - k} \right| + 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x - 2k = {x^2} - 2x + 1\\ 2x - 2k = - {x^2} + 2x - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 1 = 2k\,\,\,\left( 3 \right)\\ {x^2} + 1 = 2k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right) \end{array} \right.\)

Vẽ đồ thị hai hàm số  và  trên cùng một hệ trục tọa độ, ta có hình vẽ sau

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi hợp hai tập nghiệm của hai phương trình (3) và (4) có ba phần tử suy ra đường thẳng y=2k cắt hai đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 1\) và \(y = {x^2} + 1\) tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2k = 3\\ 2k = 2\\ 2k = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = \frac{3}{2}\\ k = 1\\ k = \frac{1}{2} \end{array} \right.\).

Suy ra \(S = \left\{ {\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2}} \right\}\).  Vậy S có ba phần tử.