Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\)

Câu hỏi :

Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(xy + yz + xz = 3\).Chứng minh bất đẳng thức       \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\).

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^3} + 8}  = \sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}  \le \frac{{(x + 2) + ({x^2} - 2x + 4)}}{2}\, = \frac{{{x^2} - x + 6}}{2}\\
 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} \ge \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}}
\end{array}\)

Tương tự, ta cũng có \(\frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} \ge \frac{{2{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}};\,\,\,\,\,\frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge \frac{{2{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}\).

Từ đó suy ra:

\(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}} + \frac{{2{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}} + \frac{{2{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}\).   (1)

Chứng minh bổ đề: Cho \(x,\,y > 0\) và \(a,\,b \in R\) ta có: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{a^2}y + {b^2}x}}{{xy}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}} \Leftrightarrow \left( {{a^2}y + {b^2}x} \right)\left( {x + y} \right) \ge xy{\left( {a + b} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {ay - bx} \right)^2} \ge 0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\).

Áp dụng bổ đề ta có

\(2\left[ {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}} \right] \ge 2\left[ {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} - \left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}} \right]\)

\( \ge \frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18}}\).

Đến đây, ta chỉ cần chứng minh:

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18}} \ge 1\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

 Do \(\,\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18\)

        \(\begin{array}{l}
 = {\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {x + y + z} \right) - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 18\\
 = {\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {x + y + z} \right) + 12 > 0
\end{array}\)

Nên \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow 2{(x + y + z)^2} \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18\)

             \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z \ge 6{\rm{     }}\) (4)

Mặt khác, do \(x, y, z\) là các số dương nên ta có: 

\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx = 3\,\,\\
x + y + z \ge \sqrt {3(xy + yz + zx)}  = 3
\end{array}\)

Nên bất đẳng thức (4) đúng.

Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh.

 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1\).

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Sở GD & ĐT Hải Dương

Số câu hỏi: 5

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 10

Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK