1)
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt \(\overrightarrow {AP} = k\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {GP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AG} = k\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \left( {k - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).
\(\overrightarrow {GN} = \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BC} = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \frac{7}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \)
Ba điểm G, P, N thẳng hàng nên hai vectơ \(\overrightarrow {GP} ,\overrightarrow {GN} \) cùng phương. Do đó \(\frac{{k - \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{ - \frac{5}{6}}} \Leftrightarrow \frac{{k - \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow k - \frac{1}{3} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow k = \frac{4}{5} \Rightarrow \overrightarrow {AP{\kern 1pt} } = \frac{4}{5}\overrightarrow {AC{\kern 1pt} } \)
\( \Rightarrow AP = \frac{4}{5}AC \Rightarrow \frac{{PA}}{{PC}} = 4\)
2)
Đặt \(S = {S_{ABC}}\) thì từ giả thiết suy ra
\(\begin{array}{l}
{S_{EAK}} + {S_{KBH}} + {S_{HCE}} = \frac{3}{4}S\\
\Rightarrow \frac{{{S_{EAK}}}}{S} + \frac{{{S_{KBH}}}}{S} + \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{3}{4}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\frac{{{S_{EAK}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}AE.AK\sin A}}{{\frac{1}{2}AB.AC\sin A}} = \frac{{AE}}{{AB}}.\frac{{AK}}{{AC}} = \cos A.\cos A = {\cos ^2}A\\
\frac{{{S_{KBH}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}BK.BH.\sin B}}{{\frac{1}{2}AB.BC\sin B}} = \frac{{BK}}{{BC}}.\frac{{BH}}{{AB}} = \cos B.\cos B = {\cos ^2}B\\
\frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}CH.CE.\sin C}}{{\frac{1}{2}AC.BC\sin C}} = \frac{{CH}}{{AC}}.\frac{{CE}}{{BC}} = \cos C.\cos C = {\cos ^2}C\\
\frac{{{S_{EAK}}}}{S} + \frac{{{S_{KBH}}}}{S} + \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = \frac{3}{4}\\
\Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}A + 1 - {\sin ^2}B + 1 - {\sin ^2}C = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{9}{4}
\end{array}\)
3) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
x - 7y + 5 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.\). Vậy A(2;1).
Phương trình các đường phân giác của góc A là \(\frac{{x + y - 3}}{{\sqrt 2 }} = \pm \frac{{x - 7y + 5}}{{5\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}
x + 3y - 5 = 0\\
3x - y - 5 = 0
\end{array} \right.{\rm{ }}\begin{array}{*{20}{c}}
{({d_1})}\\
{({d_2})}
\end{array}\)
Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao.
Xét trường hợp \(d_1\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.
Phương trình đường thẳng BC là \(3x - y + 7 = 0\).
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
3x - y + 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 4
\end{array} \right. \Rightarrow B( - 1;4)\) .
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 7y + 5 = 0\\
3x - y + 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{{11}}{5}\\
y = \frac{2}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
\(\overrightarrow {MB} = ( - 2; - 6),\overrightarrow {MC} = \left( { - \frac{{16}}{5}; - \frac{{48}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC} = \frac{8}{5}\overrightarrow {MB} \Rightarrow M\) nằm ngoài đoạn BC. Trường hợp này không thỏa mãn.
Nếu \(d_2\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
Phương trình đường thẳng BC là \(x + 3y - 31 = 0\).
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
x + 3y - 31 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 11\\
y = 14
\end{array} \right. \Rightarrow B( - 11;14)\) .
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 7y + 5 = 0\\
x + 3y - 31 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{101}}{5}\\
y = \frac{{18}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{{101}}{5};\frac{{18}}{5}} \right)\) .
\(\overrightarrow {MB} = ( - 12;4),\overrightarrow {MC} = \left( {\frac{{96}}{5}; - \frac{{32}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC} = - \frac{8}{5}\overrightarrow {MB} \Rightarrow M\) thuộc đoạn BC.
Vậy \(A(2;1),B( - 11;14),C\left( {\frac{{101}}{5};\frac{{18}}{5}} \right)\).
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưLớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK