Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {NB{\kern 1pt} {\kern 1pt} } - 3\overrightarrow {NC{\kern 1pt} {\kern 1pt} } = \overrightarrow {0{\kern 1pt}...

Câu hỏi :

1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {NB{\kern 1pt} {\kern 1pt} }  - 3\overrightarrow {NC{\kern 1pt} {\kern 1pt} }  = \overrightarrow {0{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \). Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính tỉ số \(\frac{{PA}}{{PC}}\).2) Cho tam giác nhọn ABC, gọi H, E, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là \({S_{\Delta ABC}}\) và \({S_{\Delta HEK}}\). Biết rằng \({S_{\Delta ABC}} = 4\,{S_{\Delta HEK}}\), chứng minh \({\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{9}{4}\).

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

1)

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt \(\overrightarrow {AP}  = k\overrightarrow {AC} \).

\(\overrightarrow {GP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AG}  = k\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \left( {k - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {MN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{7}{6}\overrightarrow {AC}  - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} \)

Ba điểm G, P, N thẳng hàng nên hai vectơ \(\overrightarrow {GP} ,\overrightarrow {GN} \) cùng phương. Do đó \(\frac{{k - \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{ - \frac{5}{6}}} \Leftrightarrow \frac{{k - \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow k - \frac{1}{3} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow k = \frac{4}{5} \Rightarrow \overrightarrow {AP{\kern 1pt} }  = \frac{4}{5}\overrightarrow {AC{\kern 1pt} } \)

\( \Rightarrow AP = \frac{4}{5}AC \Rightarrow \frac{{PA}}{{PC}} = 4\)

2)

Đặt \(S = {S_{ABC}}\) thì từ giả thiết suy ra

      \(\begin{array}{l}
{S_{EAK}} + {S_{KBH}} + {S_{HCE}} = \frac{3}{4}S\\
 \Rightarrow \frac{{{S_{EAK}}}}{S} + \frac{{{S_{KBH}}}}{S} + \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{3}{4}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\frac{{{S_{EAK}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}AE.AK\sin A}}{{\frac{1}{2}AB.AC\sin A}} = \frac{{AE}}{{AB}}.\frac{{AK}}{{AC}} = \cos A.\cos A = {\cos ^2}A\\
\frac{{{S_{KBH}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}BK.BH.\sin B}}{{\frac{1}{2}AB.BC\sin B}} = \frac{{BK}}{{BC}}.\frac{{BH}}{{AB}} = \cos B.\cos B = {\cos ^2}B\\
\frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}CH.CE.\sin C}}{{\frac{1}{2}AC.BC\sin C}} = \frac{{CH}}{{AC}}.\frac{{CE}}{{BC}} = \cos C.\cos C = {\cos ^2}C\\
\frac{{{S_{EAK}}}}{S} + \frac{{{S_{KBH}}}}{S} + \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = \frac{3}{4}\\
 \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}A + 1 - {\sin ^2}B + 1 - {\sin ^2}C = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{9}{4}
\end{array}\)

3) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
x - 7y + 5 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 1
\end{array} \right.\). Vậy A(2;1).

Phương trình các đường phân giác của góc A là \(\frac{{x + y - 3}}{{\sqrt 2 }} =  \pm \frac{{x - 7y + 5}}{{5\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}
x + 3y - 5 = 0\\
3x - y - 5 = 0
\end{array} \right.{\rm{  }}\begin{array}{*{20}{c}}
{({d_1})}\\
{({d_2})}
\end{array}\)

Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao.

Xét trường hợp \(d_1\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.

Phương trình đường thẳng BC là \(3x - y + 7 = 0\).

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
3x - y + 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y = 4
\end{array} \right. \Rightarrow B( - 1;4)\) .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 7y + 5 = 0\\
3x - y + 7 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - \frac{{11}}{5}\\
y = \frac{2}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).  

\(\overrightarrow {MB}  = ( - 2; - 6),\overrightarrow {MC}  = \left( { - \frac{{16}}{5}; - \frac{{48}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC}  = \frac{8}{5}\overrightarrow {MB}  \Rightarrow M\) nằm ngoài đoạn BC. Trường hợp này không thỏa mãn.

Nếu \(d_2\) là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

Phương trình đường thẳng BC là \(x + 3y - 31 = 0\).

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y - 3 = 0\\
x + 3y - 31 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 11\\
y = 14
\end{array} \right. \Rightarrow B( - 11;14)\) .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 7y + 5 = 0\\
x + 3y - 31 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{101}}{5}\\
y = \frac{{18}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{{101}}{5};\frac{{18}}{5}} \right)\)  .

\(\overrightarrow {MB}  = ( - 12;4),\overrightarrow {MC}  = \left( {\frac{{96}}{5}; - \frac{{32}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC}  =  - \frac{8}{5}\overrightarrow {MB}  \Rightarrow M\) thuộc đoạn BC.

Vậy \(A(2;1),B( - 11;14),C\left( {\frac{{101}}{5};\frac{{18}}{5}} \right)\).

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Đề thi HSG môn Toán 10 năm 2019 Sở GD & ĐT Hải Dương

Số câu hỏi: 5

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 10

Lớp 10 - Năm thứ nhất ở cấp trung học phổ thông, năm đầu tiên nên có nhiều bạn bè mới đến từ những nơi xa hơn vì ngôi trường mới lại mỗi lúc lại xa nhà mình hơn. Được biết bên ngoài kia là một thế giới mới to và nhiều điều thú vị, một trang mới đang chò đợi chúng ta.

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK