Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O.

Câu hỏi :

Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bốn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m. Phần diện tích \(S_1, S_2\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \(S_3, S_4\) dùng để trồng cỏ.Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1m2 kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/ m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

A. 3.000.000 đồng.

B. 3.270.000 đồng.

C. 5.790.000 đồng.

D. 6.060.000 đồng.

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

ABCD là hình vuông cạnh 4 nên \(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}}  = 4\sqrt 2  \Rightarrow OB = 2\sqrt 2 \) và A(-2;2); B(2;2).

Phương trình đường tròn tâm O bán kính \(r = 2\sqrt 2 \) là \({x^2} + {y^2} = 8 \Rightarrow y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;2} \right),B\left( {2;2} \right)\) và có đỉnh O(0;0;0) có dạng \(y=ax^2\) (\(a \ne 0\))

Khi đó \(2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}{x^2}\) (P) 

Từ đồ thị ta có \(S_1\) là giới hạn của hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \) và \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và hai đường thẳng x = - 2, x = 2.

Nên ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}}  - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx}  - \left. {\frac{1}{6}{x^3}} \right|_{ - 2}^2 = I - \frac{8}{3}\) 

Xét \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} \), đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 \cos tdt\) 

Đổi biến số \(x =  - 2 \Rightarrow t =  - \frac{\pi }{4};x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\) 

Từ đó \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {8{{\cos }^2}tdt}  = 4\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt}  = 4t + \left. {2\sin 2t} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = 2\pi  + 4\) 

Nên \({S_1} = I - \frac{8}{3} = 2\pi  + 4 - \frac{8}{3} = 2\pi  + \frac{4}{3}\) 

Lại thấy \({S_1} = {S_2};{S_3} = {S_4}\) (vì hai parabol đối xứng nhau qua đỉnh O), diện tích cả bốn hoa là \(S = \pi {r^2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi \).

Từ đó diện tích trồng hoa là \({S_1} + {S_2} = 2{S_1} = 4\pi  + \frac{8}{3}\left( {{m^2}} \right)\) 

Diện tích trồng cỏ là \({S_3} + {S_4} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 4\pi  - \frac{8}{3}\left( {{m^2}} \right)\) 

Nên tổng số tiền trồng bồn hoa là \(\left( {4\pi  + \frac{8}{3}} \right).150000 + \left( {4\pi  - \frac{8}{3}} \right).100000 \approx 3274926\) đồng.

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK