Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O.

* Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông cạnh 4 nên \(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}}  = 4\sqrt 2  \Rightarrow OB = 2\sqrt 2 \) và A(-2;2); B(2;2).

Phương trình đường tròn tâm O bán kính \(r = 2\sqrt 2 \) là \({x^2} + {y^2} = 8 \Rightarrow y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;2} \right),B\left( {2;2} \right)\) và có đỉnh O(0;0;0) có dạng \(y=ax^2\) (\(a \ne 0\))

Khi đó \(2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}{x^2}\) (P) 

Từ đồ thị ta có \(S_1\) là giới hạn của hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \) và \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) và hai đường thẳng x = - 2, x = 2.

Nên ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}}  - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx}  - \left. {\frac{1}{6}{x^3}} \right|_{ - 2}^2 = I - \frac{8}{3}\) 

Xét \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} \), đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 \cos tdt\) 

Đổi biến số \(x =  - 2 \Rightarrow t =  - \frac{\pi }{4};x = 2 \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\) 

Từ đó \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt}  = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {8{{\cos }^2}tdt}  = 4\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt}  = 4t + \left. {2\sin 2t} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = 2\pi  + 4\) 

Nên \({S_1} = I - \frac{8}{3} = 2\pi  + 4 - \frac{8}{3} = 2\pi  + \frac{4}{3}\) 

Lại thấy \({S_1} = {S_2};{S_3} = {S_4}\) (vì hai parabol đối xứng nhau qua đỉnh O), diện tích cả bốn hoa là \(S = \pi {r^2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi \).

Từ đó diện tích trồng hoa là \({S_1} + {S_2} = 2{S_1} = 4\pi  + \frac{8}{3}\left( {{m^2}} \right)\) 

Diện tích trồng cỏ là \({S_3} + {S_4} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 4\pi  - \frac{8}{3}\left( {{m^2}} \right)\) 

Nên tổng số tiền trồng bồn hoa là \(\left( {4\pi  + \frac{8}{3}} \right).150000 + \left( {4\pi  - \frac{8}{3}} \right).100000 \approx 3274926\) đồng.