Bài tập 6 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 169 SGK Đại số & Giải tích 11
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a) \(sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x\);
b) \(cos^2\)\(\left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\) \(+\) \(cos^2\)\(\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) \(+\) \(cos^2\)\(\left( {\frac{2\pi }{3} - x} \right)\) \(+\) \(cos^2\) \(\left( {\frac{2\pi }{3} + x} \right)\) \(-2sin^2x\).
Yêu cầu bài toán tương đương với chứng minh các hàm số có đạo hàm là các hằng số.
Áp dụng các qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác ta có lời giải chi tiết câu a, b bài 6 như sau.
Câu a:
\(y=sin^6x+cos^6x+3sin^2xcos^2x\)
\(y'=6cosxsin^5x-6sinxcos^5x+3(2sinxcosxcos^2x-2sin^2xcosxsinx)\)
\(=6cosxsin^5x-6sinxcox^5x+6sinxcos^3x-6cosxsin^3x\)
\(=3sin^4xsin2x-3cos^4xsin2x+3sin2xcos^2x-3sin2xsin^2x\)
\(=3sin2x(sin^4x-cos^4x)+3sin2x(cos^2x-sin^2x)\)
\(=3sin2x(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)-3sin2x(sin^2x-cos^2x)\)
\(=3sin2x(sin^2x-cos^2x)-3sin2x(sin^2x-cos^2x)=0\)
Vậy y'=0 với mọi x hay y' không phụ thuộc x
Câu b:
\(y=cos^2\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )=cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}-x \right )= -cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)
Ta có: \(cos\left (\frac{2\pi }{3}-x \right )= cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}-x \right )=-cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)
\(cos\left (\frac{2\pi }{3}+x \right )= cos\left ( \pi -\frac{\pi }{3}+x \right )=-cos\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\)
hay \(cos^2\left ( \frac{2\pi }{3} -x\right )=cos^2\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )\)
\(cos^2\left ( \frac{2\pi }{3} +x\right )=cos^2\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )\)
Do đó \(y=2cos^2\left ( \frac{\pi }{3} -x \right )+2cos^2\left ( \frac{\pi }{3} +x\right )-2sin^2x\)
Suy ra:
\(y'=4sin\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )cos\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )- 4sin\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )cos\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )-4cosxsinx\)
\(=2sin\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )-2sin\left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2sin2x\)
\(=2\left [ sin \frac{2\pi }{3}cos2x-sin2xcos\frac{2\pi }{3} -sin\frac{2\pi }{3}cos2x-sin2xcos\frac{2\pi }{3}-sin2x\right ]\)
\(=2\left [ -sin2xcos\frac{2\pi }{3} -sin2xcos\frac{2\pi }{3}-sin2x\right ]\)
\(=2\left [ \frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{2}sin2x-sin2x\right ]=0\)
Vậy y'=0, với mọi x hay y' không phụ thuộc vào x.
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK