Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC
Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC
Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:
a) Nếu \(f(x) = \frac{1}{x}\) thì \({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)
b) Nếu f(x) = cos x thì \({f^{(4n)}}(x) = cosx.\)
c) Nếu f(x) = sin ax (a là hằng số) thì \({f^{(4n)}}(x) = {a^{4n}}sinax\)
a) Cho \(f(x) = \frac{1}{x}(x \ne 0)\)., Ta chứng minh:
\({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}(\forall x \ge 1)\) bằng phương pháp qui nạp
- Với n = 1, ta có:
\({f^{(n)}}(x) = f\prime (x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\) và
\(\frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
Suy ra (1) đúng khi n = 1.
- Giả sử (1) đúng cho trường hợp n = k(k ≥ 1), tức là:
\({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\)
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là:
\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)
Thật vậy, ta có:
\(\begin{array}{l}
{f^{(k + 1)}}(x) = [{f^{(k)}}(x)]\prime \\
= - \frac{{{{( - 1)}^k}k!.(k + 1){x^k}}}{{{x^{2(k + 1)}}}}\\
= \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}}
\end{array}\)
b) Cho f(x) = cosxx. Chứng minh công thức :
\({f^{(4n)}}(x) = cosx(\forall n \ge 1)(2)\) bằng phương pháp qui nạp:
Ta có: f′(x) = −sinx; f"(x) = −cosx
\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)
+ Với n = 1 thì f(4n)(x)=f(4)(x)=cosxf(4n)(x)=f(4)(x)=cosx
Suy ra (2) đúng khi n = 1
+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp n = k (k ≥ 1), tức là : f(4k) (x) = cosx,
Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là phải chứng minh ::
\({f^{(4(k + 1))}}(x) = cosx(hay\,{f^{(4k + 4)}}(x) = cosx)\)
Thật vậy,
\(\begin{array}{l}
{f^{(4k)}}(x) = \cos x \Rightarrow {f^{(4k + 1)}}(x) = - \sin x\\
{f^{(4k + 2)}}(x) = - \cos x\\
{f^{(4k + 3)}}(x) = \sin x\\
{f^{(4k + 4)}}(x) = \cos x
\end{array}\)
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = a\cos ax\\
f(x) = - {a^2}\sin ax\\
{f^{(3)}}(x) = - {a^3}\cos ax\\
{f^{(4)}}(x) = {a^4}\sin ax
\end{array}\)
Với n = 1 ta có f(4)(x) = a4sinax,, đẳng thức đúng với n = 1
Giả sử đẳng thức đúng với n = k tức là : f(4k)(x) = a4ksinax
Với n = k + 1 ta có:
\({f^{(4k + 4)}}(x) = {({f^{(4k)}})^{(4)}}(x) = {({a^{4k}}\sin ax)^{(4)}}\)
Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)
\(\begin{array}{l}
{f^{(4k + 1)}}(x) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{(4k + 2)}}(x) = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{(4k + 3)}}(x) = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{(4k + 4)}}(x) = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\)
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1, do đó đẳng thức đúng với mọi n.
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK