Bài tập 6 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y =\frac{1}{x}\):
a) Tại điểm \((\frac{1}{2} ; 2)\)
b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(- \frac{1}{4}\).
Phương pháp:
Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)
Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)
Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)
Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\)
Lời giải:
Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 6 như sau:
\(\begin{array}{l} y = \frac{1}{x}\\ \Delta y = \frac{1}{{x + \Delta x}} - \frac{1}{x} = \frac{{x - (x + \Delta x)}}{{x\left( {x + \Delta x} \right)}} = - \frac{{\Delta x}}{{{x^2} + x.\Delta x}}\\ \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{1}{{{x^2} + x.\Delta x}}\\ y'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{1}{{{x^2}}} \end{array}\)
Câu a:
Tại \(x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y'(\frac{1}{2})=-4\)
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y=\frac{1}{x}\) tại điểm \(\left ( \frac{1}{2};2 \right )\) là:
\(y-2=-4(x-\frac{1}{2})\) hay \(y=-4x+4\)
Câu b:
Tại \(x_0=-1\Rightarrow y_0=y(-1)=-1\) và \(y'(-1)=-1\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y=\frac{1}{x}\) tại điểm có hoành độ -1 là:
\(y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)\)
Hay \(y+1=-1(x+1)\Leftrightarrow y=-x-2.\)
Câu c:
Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-\frac{1}{4}\), nên
\(-\frac{1}{x^2_0}=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x_0=\pm 2.\)
Với \(x_0=2\Rightarrow y_0=\frac{1}{2}.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
\(y-y_0=-\frac{1}{4}(x-x_0)\) hay \(y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)\)
\(\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x+1\)
Với \(x_0=-2\Rightarrow y_0=-\frac{1}{2}.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
\(y-y_0=-\frac{1}{4}(x-x_0)\) hay \(y+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x+2)\)
\(\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x-1\).
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK