Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị các hàm số
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (−1;−2)
b) \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = −2
c) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5
a) Tính đạo hàm của hàm số tại bằng định nghĩa:
Giả sử là số gia của đối số tại \({x_0} = - 1\). Ta có:
\(\begin{array}{l}
\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1)\\
= {( - 1 + \Delta x)^3} - 3{( - 1 + \Delta x)^2} + 2 - ( - 2)\\
= - 1 + 3\Delta x - 3{(\Delta x)^2} + {(\Delta x)^3} - 3[1 - 2\Delta x + {(\Delta x)^2}] + 4\\
= {(\Delta x)^3} - 6{(\Delta x)^2} + 9\Delta x\\
\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {(\Delta x)^2} - 6\Delta x + 9\\
\Rightarrow y\prime ( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [{(\Delta x)^2} - \Delta x + 9] = 9
\end{array}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là
\({y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y + 2 = 9\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 9x + 7}\)
b) Điểm có hoành độ bằng thì có tung độ là 8
Giả sử là số gia của đối số tại \({x_0} = - 2\). Ta có:
\(\begin{array}{l}
\Delta y = {( - 2 + \Delta x)^4} - 2{( - 2 + \Delta x)^2} - 8\\
= 16 - 32\Delta x + 24{(\Delta x)^2} - 8{(\Delta x)^3} + {(\Delta x)^4} - 8 + 8\Delta x - 2{(\Delta x)^2} - 8\\
= {(\Delta x)^4} - 8{(\Delta x)^3} + 22{(\Delta x)^2} - 24\Delta x\\
\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = {(\Delta x)^3} - 8{(\Delta x)^2} + 22\Delta x - 24\\
\Rightarrow y\prime ( - 2) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} [{(\Delta x)^3} - 8{(\Delta x)^2} + 22\Delta x - 24] = - 24
\end{array}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại là
\(\begin{array}{l}
y - {y_o} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\\
\Leftrightarrow y - 8 = - 24\left( {x + 2} \right)\\
\Leftrightarrow y = - 24x - 40
\end{array}\)
c) Giả sử là số gia đối số tại điểm
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\Delta y = \frac{{2(\Delta x + {x_0}) + 1}}{{\Delta x + {x_0} - 2}} - \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}}\\
= \frac{{(2\Delta x + 2{x_0} + 1)({x_0} - 2) - (\Delta x + {x_0} - 2)(2{x_0} + 1)}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}\\
= \frac{{ - 5\Delta x}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}
\end{array}\)
Suy ra
\(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\frac{{ - 5\Delta x}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}}}{{\Delta x}} = \frac{{ - 5}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}\)
\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {\frac{{ - 5}}{{(\Delta x + {x_0} - 2)({x_0} - 2)}}} \right] = - \frac{5}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\)
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tương đương với
\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_0}} \right) = - 5 \Rightarrow \frac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = - 5\\
\Rightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7\\
{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng là
-- Mod Toán 11
Bạn có biết?
Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thay đổi.Các nhà toán học và triết học có nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi của toán học
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự Lớp 11
Lớp 11 - Năm thứ hai ở cấp trung học phổ thông, gần đến năm cuối cấp nên học tập là nhiệm vụ quan trọng nhất. Nghe nhiều đến định hướng sau này rồi học đại học. Ôi nhiều lúc thật là sợ, hoang mang nhưng các em hãy tự tin và tìm dần điều mà mình muốn là trong tương lai nhé!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK