Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({{\Delta }_{1}}:\,\frac{x}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-1}{3}\) và \({{\Delta }_{2}}:\,\frac{x+2}{-1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}...

* Hướng dẫn giải

Ta có

\({\Delta _1}:\,\frac{x}{1} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z - 1}}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = a\\ y = 4 + 2a\\ z = 1 + 3a \end{array} \right.\,\,\,\left( {a \in R} \right).\)

\({\Delta _2}:\,\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 2 - b\\ y = - 2b\\ z = 1 + 3b \end{array} \right.\,\left( {b \in R} \right)\,.\)

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng vậy tọa độ M thỏa mãn hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l} a = - 2 - b\\ 4 + 2{\rm{a}} = - 2b\\ 1 + 3{\rm{a}} = 1 + 3b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = - 1 \end{array} \right.\, \Rightarrow M\left( { - 1\,;2\,;\, - 2} \right).\)

Trên \({\Delta _1}\) lấy điểm \(A\left( {1;6\,;\,4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( {2\,;\,4\,;\,6} \right)\), trên \({\Delta _2}\) lấy điểm \(B\left( { - 2 - b\,; - 2b\,;\,1 + 3b} \right)\) thỏa mãn : \(MA = MB \Leftrightarrow M{A^2} = M{B^2} \Leftrightarrow 56 = {\left( { - 1 - b} \right)^2} + {\left( { - 2b - 2} \right)^2} + {\left( {3 + 3b} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 14{b^2} + 28b - 42 = 0 \Leftrightarrow {b^2} + 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = 1\\ b = - 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} B\left( { - 3\,; - 2\,;\,4} \right)\\ B\left( {1\,;6\,;\, - 8} \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \overrightarrow {MB} \left( { - 2\,; - 4\,;\,6} \right)\\ \overrightarrow {MB} \left( {2\,;4\,;\, - 6} \right) \end{array} \right.\)

Xét  \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \), vì d là đường phân giác góc nhọn của 2 đường thẳng nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \, > 0\) vậy tọa độ \(B\left( { - 3\,; - 2\,;\,4} \right)\) thỏa mãn.

Vậy véctơ chỉ phương của đường thẳng thỏa mãn :  \(\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \left( {0 ;\,0\,;\,12} \right).\)

Vì \(\overrightarrow{u}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nên \(k\overrightarrow{u}\,\left( k\ne 0 \right)\) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Khi đó chọn \(k=\frac{-1}{12}\) véctơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là \(\overrightarrow{u}=\left( 0\,;\,0\,;\,-1 \right)\). Đáp án đúng là B