Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3a, SA=SD=3a, SB=SC=
Câu hỏi :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 3a, SA=SD=3a, SB=SC=\(3a\sqrt 3 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD, P là điểm thuộc cạnh AB sao cho AP=2a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
A.\[\frac{{9{a^2}\sqrt {139} }}{4}\]
B. \[\frac{{9{a^2}\sqrt {139} }}{8}\]
C. \[\frac{{9{a^2}\sqrt 7 }}{8}\]
D. \[\frac{{9{a^2}\sqrt {139} }}{{16}}\]
* Đáp án
* Hướng dẫn giải
Do MN//AD⇒MN//BC. Vậy (MNP) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến đi qua P, song song BC và cắt DC tại điểm I. Thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) chính là hình thang MNIP.
Do \[\Delta NDI = \Delta MAP\;\] nên MP=NI. Từ đó suy ra MNIP là hình thang cân.
Trong tam giác SAB, ta có
\[\cos \widehat {SAB} = \frac{{S{A^2} + A{B^2} - S{B^2}}}{{2.SA.AB}} = \frac{{9{a^2} + 9{a^2} - 27{a^2}}}{{2.3a.3a}} = - \frac{{9{a^2}}}{{18{a^2}}} = - \frac{1}{2}\]
Trong tam giác MAP, ta có
\[M{P^2} = M{A^2} + A{P^2} - 2MA.AP.\cos \widehat {MAP} = \frac{{9{a^2}}}{4} + 4{a^2} + \frac{{3a}}{2} \cdot 2a = \frac{{37{a^2}}}{4} \Rightarrow MP = \frac{{a\sqrt {37} }}{2}\]
Từ M kẻ \[MF \bot PI\], từ N kẻ \[NE \bot PI\].
Dễ thấy, tứ giác MNEF là hình chữ nhật và từ đó suy ra
\[MN = EF = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow PF = EI = \frac{{3a}}{4}\]
Xét tam giác vuông MFP, ta có
\[MF = \sqrt {M{P^2} - F{P^2}} = \sqrt {\frac{{37{a^2}}}{4} - \frac{{9{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {139} }}{4}\]
Ta có
\[{S_{MNIP}} = \frac{{\left( {MN + IP} \right).MF}}{2} = \frac{{\left( {\frac{{3a}}{2} + 3a} \right) \cdot \frac{{a\sqrt {139} }}{4}}}{2} = \frac{{9{a^2}\sqrt {139} }}{{16}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Bạn có biết?
Học thuộc bài trước khi ngủ. Các nhà khoa học đã chứng minh đây là phương pháp học rất hiệu quả. Mỗi ngày trước khi ngủ, bạn hãy ôn lại bài đã học một lần sau đó, nhắm mắt lại và đọc nhẩm lại một lần. Điều đó sẽ khiến cho bộ não của bạn tiếp thu và ghi nhớ tất cả những thông tin một cách lâu nhất.
Nguồn : timviec365.vnTâm sự
Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!
Nguồn : ADMIN :))Copyright © 2021 HOCTAPSGK