Cho hàm số (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho . Tổng các phần tử của S là

Câu hỏi :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + m\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7\). Tổng các phần tử của S là

A. 7

B. -14

C. -7

D. 14

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + m\) liên tục trên đoạn [0;2].

Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\ x = 0 \in \left[ {0;2} \right]\\ x = - 1 \notin \left[ {0;2} \right] \end{array} \right.\)

Khi đó f(0) = m; f(1) = m - 1; f(2) = m + 8.

Suy ra \(f\left( 1 \right) = m - 1 < f\left( 0 \right) = m < f\left( 2 \right) = m + 8\).

Đồ thị của hàm số y = |f(x)| thu được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của (C): y = f(x), còn phần đồ thị phía dưới trục hoành của (C): y = f(x) thì lấy đối xứng qua trục hoành lên trên. Do đó, ta có biện luận sau đây:

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1. \(m + 8 \le 0 \Leftrightarrow m \le - 8\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {m + 8} \right| = - m - 8\\ \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {m - 1} \right| = 1 - m \end{array} \right.\). Do đó:

\(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7 \Leftrightarrow 1 - m - m - 8 = 7 \Leftrightarrow m = - 7\) (loại).

Trường hợp 2. \(m \le 0 < m + 8 \Leftrightarrow - 8 < m \le 0\), thì đồ thị hàm số (C):y = f(x) cắt trục hoành tại xo với \({x_0} \in \left[ {0;2} \right]\). Do đó \(\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\). Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7\).

Mặt khác \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = max\left\{ {\left| {m + 8} \right|;\left| {m - 1} \right|} \right\} = max\left\{ {m + 8;1 - m} \right\}\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 1 - m \ge m + 8\\ 1 - m = 7 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m + 8 > 1 - m\\ m + 8 = 7 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m \le - \frac{7}{2}\\ m = - 6\,\,\,\,\left( {TM} \right) \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m > - \frac{7}{2}\\ m = - 1\,\,\,\,\,\left( {TM} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.\).

Trường hợp 3. \(m - 1 \le 0 < m \Leftrightarrow 0 < m \le 1\), thì đồ thị hàm số (C): y = f(x) cắt trục hoành tại x0 với \({x_0} \in \left[ {0;2} \right]\). Do đó \(\mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\).

Măt khác \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 8\).

Suy ra \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7 \Leftrightarrow m + 8 = 7 \Leftrightarrow m = - 1\) (loại).

Trường hợp 4. \(m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\\ \mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 8 \end{array} \right.\). Do đó:

\(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7 \Leftrightarrow m - 1 + m + 8 = 7 \Leftrightarrow m = 0\) (loại).

Suy ra \(S = \left\{ { - 1; - 6} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của S là \(\left( { - 6} \right) + \left( { - 1} \right) = - 7\).

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự Lớp 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK